Teilaufgabe 1b

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(G_{h}\). Geben Sie den Grenzwert von \(h\) für \(x \to +\infty\) an und begründen Sie, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Monotonieverhalten und Verhalten im Unendlichen des Graphen einer Funktion, Wertemenge einer Funktion

 

Anmerkung:

Der Grenzwert von \(h\) ist lediglich anzugeben. Jede diesbezügliche Erklärung kann entfallen.

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = \mathbb R^{+}\]

 

Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(G_{h}\)

Gemäß dem Monotoniekriterium ist der Graph der Funktion \(h\) in einem zu bestimmenden Intervall streng monoton fallend, wenn dort \(h'(x) < 0\) gilt, und streng monoton steigend, wenn dort \(h'(x) > 0\) gilt.

Es sind also die Lösungen der Ungleichungen \(h'(x) < 0\) und \(h'(x) > 0\) zu ermitteln.

 

Die Ableitungsfunktion \(h'(x)\) ist aus Teilaufgabe 1a bekannt:

 

\[h'(x) = 3\ln{x}\]

 

Die in \(\mathbb R^{+}\) definierte natürliche Logarithmusfunktion legt den Definitionsbereich der Ableitungsfunktion \(h'(x)\) fest.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{h'} = \mathbb R^{+} = \; ]0;+\infty[\]

 

Monotonieintervalle von \(G_{h}\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} h'(x) &< 0  \\[0.8em] 3\ln{x} &< 0 & &| : 3 \\[0.8em] \ln{x} &< 0 & &| \; e^{(\dots)}\; \text{zur Basis}\;e\;\text{potenzieren} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &< e^{0} & &| \; e^{\ln{x}} = x;\; \left(\text{allg.:}\; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] x &< 1 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad h'(x) < 0\) für \(x \in \; ]0;1[\)

\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]0;1[\) streng monoton fallend.

 

\[\begin{align*} h'(x) &> 0  \\[0.8em] 3\ln{x} &> 0 & &| : 3 \\[0.8em] \ln{x} &> 0 & &| \; e^{(\dots)}\; \text{zur Basis}\;e\;\text{potenzieren} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &> e^{0} & &| \; e^{\ln{x}} = x; \; \left( \text{allg.:}\; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] x &> 1 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad h'(x) > 0\) für \(x \in \; ]1;+\infty[\)

\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]1;+\infty[\) streng monoton steigend.

 

Alternative Untersuchung bzw. Formulierung:

Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(h'(x) = 3\ln{x}\) wird durch die Natürliche Logarithmusfunktion \(\ln{x}\) bestimmt. Die in \(\mathbb R^{+}\) definierte natürliche Logarithmusfunktion besitzt die einzige Nullstelle \(x = 1\). Ihre Funktionswerte sind für \(x \in \; ]0;1[\) negativ und für \(x \in \; ]1;+\infty[\) positiv.

Somit folgt für das Monotonieverhalten von \(G_{h}\):

\(h'(x) < 0\) für \(x \in \; ]0;1[\)

\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]0;1[\) streng monoton fallend.

 

\(h'(x) > 0\) für \(x \in \; ]1;+\infty[\)

\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]1;+\infty[\) streng monoton steigend.

 

Grenzwert von \(h\) für \(x \to +\infty\)

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x})\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} h(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \underbrace{3x}_{\to\,+\infty} \cdot \underbrace{(-1 + \underbrace{\ln{x}}_{\to\,+\infty})}_{\to\,+\infty} = +\infty\]

 

Begründung, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = \mathbb R^{+} = \; ]0;+\infty[\]

 

Das Monotonieverhalten von \(G_{h}\) ist bereits bekannt:

 

\(h'(x) < 0\) für \(x \in \; ]0;1[\)

\(G_{h}\) ist für \(x \in \; ]0;1[\) streng monoton fallend.

 

\(h'(x) > 0\) für \(x \in \; ]1;+\infty[\)

\(G_{h}\) ist für \(x \in \; ]1;+\infty[\) streng monoton steigend.

 

Zudem ist \(x = 1\) einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion \(h'(x) = 3\ln{x}\) (vgl. Teilaufgabe 1a), da \(x = 1\) einzige Nullstelle der natürlichen Logarithmusfunktion ist.

Folglich ist \(x = 1\) einzige Extremstelle der Funktion \(h\) und \(G_{h}\) besitzt in \(D_{h} = \; ]0;+\infty[\) den absoluten Tiefpunkt \(TiP(1|h(1))\).

Der Funktionswert \(h(1)\) legt somit die untere Grenze der Wertemenge der Funktion \(h\) fest.

 

\[\left. \begin{align*} &h'(x) < 0 \; \text{für} \; x \in \; ]0;1[ \\[0.8em] &h'(1) = 0 \\[0.8em] &h'(x) > 0 \; \text{für} \; x \in \; ]1;+\infty[ \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{absoluter Tiefpunkt}\; TiP(1|h(1))\]

 

Funktionswert \(h(1)\) berechnen:

 

\[h(1) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) + \ln{1} = 3 \cdot (-1 + 0) = -3\]

 

Schlussfolgerung:

Mit \(h(1) = -3\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} h(x) = +\infty\) ergibt sich die Wertemenge der Funktion \(h\) zu \(W_{h} = [-3;+\infty[\).

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = ]0;+\infty[\]

\[h'(x) = 3\ln{x}\]

 

 \(x\) \(x \in \; ]0;1[\) \(x = 1\) \(x \in \; ]1;+\infty[\)
\(h'(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{h}\) \(\searrow\) absoluter Tiefpunkt \(TiP(1|h(1))\) \(\nearrow\)
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