Teilaufgabe 1c

Geben Sie für die Funktion \(h\) und deren Ableitungsfunktion \(h'\) jeweils das Verhalten für \(x \to 0\) an und zeichnen Sie \(G_{h}\) im Bereich \(0 < x < 0{,}75\) in Abbildung 1 ein.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

  

Grenzwertbetrachtung, Funktionsgraph zeichnen

 

Anmerkung:

Das Verhalten der Funktion \(h\) und deren Ableitungsfunktion \(h'\) für \(x \to 0\) ist jeweils lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen.

 

Verhalten der Funktion \(h\) für \(x \to 0\)

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = \mathbb R^{+}\]

 

Das Verhalten der Funktion \(h\) für \(x \to 0\) lässt sich mithilfe des in der Merkhilfe dokumentierten Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,0} \left( x^{r} \cdot \ln{x} \right) = 0 \; (r > 0) \) angeben.

\[\lim \limits_{x\,\to\,0} h(x) = \lim \limits_{x\,\to\,0} 3x \cdot (-1 + \ln{x}) = 0\]

 

Für \(x \to 0\) nähert sich der Graph der Funktion \(h\) beliebig nahe dem Koordinatenursprung \(O(0|0)\).

 

Alternative: Regel von L'Hospital anwenden

Anmerkung:

Die Regel von L'Hospital ist nicht im G8 Mathematik Lehrplan enthalten. Erfahrungsgemäß wird diese aber des Öfteren optional unterrichtet, um Grenzwertbetrachtungen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) zu vertiefen.

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = \mathbb R^{+}\]

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,0} h(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,0} \underbrace{\underbrace{3x}_{\to\,0} \cdot \underbrace{(-1 + \ln{x})}_{\to\,-\infty}}_{\large{0\,\cdot\,-\infty}} & &| \; \text{Umschreiben in die Form} \; \dfrac{\infty}{\infty} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,0} \underbrace{\frac{3 \cdot (-1 + \ln{x})}{\frac{1}{x}}}_{\large{-\frac{\infty}{\infty}}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,0} \frac{ \left[3 \cdot (-1 +\ln{x})\right]'}{\left( \frac{1}{x} \right)'} & &| \; \left[3 \cdot (-1 +\ln{x})\right]' = \frac{3}{x}; \; \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^{2}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,0} \frac{\frac{3}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,0} -\frac{3x^{2}}{x} & &| \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,0} -3x \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

Verhalten der Ableitungsfunktion \(h'\) für \(x \to 0\)

 

\(h'(x) = 3 \cdot \ln{x}\) (vgl. Teilaufgabe 1a)

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,0} h'(x) = \lim \limits_{x\,\to\,0} 3 \cdot \underbrace{\ln{x}}_{\to\,-\infty} = -\infty\]

 

Geometrische Interpretation des Grenzwerts:

Die Ableitung \(h'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(h\). Für \(x \to 0\) nähert sich die Steigung der Tangente dem Grenzwert \(-\infty\), was einer nahezu senkrecht zur \(x\)-Achse verlaufenden Tangente entspricht. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion \(h\) in der Umgebung des Koordinatenursprungs \(O(0|0)\) senkrecht zur \(x\)-Achse mündet. Die nachfolgende Zeichnung sollte dieses Verhalten von \(G_{h}\) erkennen lassen.

 

Zeichnung von \(G_{h}\) im Bereich \(0 < x < 0{,}75\)

 

Graph der Funktion h für 0 < x ≤ 4

Graph \(G_{h}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(h \colon x \mapsto 3x \cdot (-1 + \ln{x})\) für \(0 < x \leq 4\)

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