Teilaufgabe 1d

Die Funktion \(h^{*}\colon x \mapsto h(x)\) mit Definitionsmenge \([1;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(h\) nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu \(h\) ist die Funktion \(h^{*}\) umkehrbar.

Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(h^{*}\) an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) des Graphen von \(h^{*}\) und der Geraden mit der Gleichung \(y = x\).

(Teilergebnis: \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(e^{\frac{4}{3}}\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Definitions- und Wertemenge einer Umkehrfunktion, Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

 

\[h^{*}(x) = h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h^{*}} = [1;+\infty[\]

 

Definitionsmenge und Wertemenge der Umkehrfunktion von \(h^{*}\)

Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(h^{*^{-1}}\) ist gleich der Wertemenge der Funktion \(h^{*}\).

Die Wertemenge der Umkehrfunktion \(h^{*^{-1}}\) ist gleich der Definitionsmenge der Funktion \(h^{*}\).

 

Definitionsmenge und Wertemenge der Funktion \(h^{*}\):

 

\(D_{h^{*}} = [1;+\infty[\) (vgl. Angabe)

 

In Teilaufgabe 1b wurde gezeigt, dass der Funktionswert \(h(1)\) die untere Grenze der Wertemenge der Funktion \(h\) festlegt.

Da mit \(h^{*}(x) = h(x)\) und \(D_{h^{*}} = [1;+\infty[\) gilt \(h^{*}(1) = h(1)\), ist die Wertemenge der Funktion \(h^{*}\) gleich der Wertemenge der Funktion \(h\).

 

\[W_{h^{*}} = W_{h} = [-3;+\infty[\]

 

Definitionsmenge und Wertemenge der Umkehrfunktion \(h^{*^{-1}}\) der Funktion \(h^{*}\):

 

\[D_{h^{*^{-1}}} = W_{h^{*}} = [-3;+\infty[\]

\[W_{h^{*^{-1}}} = D_{h^{*}} = [1;+\infty[\]

 

Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) des Graphen von \(h^{*}\) und der Geraden mit der Gleichung \(y = x\)

 

\[h^{*}(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x})\]

\[y = x\]

 

Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S\) des Graphen der Funktion \(h^{*}\) und der Geraden mit der Gleichung \(y = x\) (Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten) werden die Funktionsterme gleichgesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} h^{*}(x) &= x \\[0.8em] 3x \cdot (-1 + \ln{x}) &= x & &| : 3x \; (x \neq 0) \\[0.8em] -1 + \ln{x} &= \frac{1}{3} & &| + 1 \\[0.8em] \ln{x} &= \frac{4}{3} & &| \; e^{(\dots)} \; \text{(zur Basis} \; e \; \text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &= e^{\frac{4}{3}} & &| \; e^{\ln{x}} = x \; \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] x &= e^{\frac{4}{3}} \end{align*}\]

 

Der Graph der Funktion \(h^{*}\) schneidet die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) an der Stelle \(x_{S} = e^{\frac{4}{3}}\).

 

\(y\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S\):

Entsprechend der Geradengleichung \(y = x\) gilt \(y_{S} = x_{S}\).

 

\[\Longrightarrow \quad S\left( e^{\frac{4}{3}} \Big| e^{\frac{4}{3}} \right)\]

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