Teilaufgabe 2d

In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für \(0 \leq t \leq 12\) modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}4 \cdot (2t^{3} - 39t^{2} + 180t)\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und \(g(t)\) die momentane Änderungsrate des Volumens in \(\frac{\sf{m^{3}}}{\sf{h}}\).

Begründen Sie, dass die Funktionswerte von \(g\) für \(0 < t < 7{,}5\) positiv und für \(7{,}5 < t < 12\) negativ sind.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Faktorisieren einer ganzrationalen Funktion (Linearfaktorzerlegung)

 

\[g(t) = 0{,}4 \cdot \left( 2t^{3} - 39t^{2} + 180t \right); \; D_{g} = \mathbb R\]

\[0 \leq t \leq 12\]

 

Die Aussage „Die Funktionswerte von \(g\) sind für \(0 < t < 7{,}5\) positiv und für \(7{,}5 < t < 12\) negativ" weist auf eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel der Funktion \(g\) für \(t = 7{,}5\) hin.

Um die Aussage überprüfen zu können, wird der Funktionsterm \(g(t)\) vollständig faktorisiert. Das heißt, der Funktionsterm wird anhand der Nullstellen von \(g\) als Produkt seiner Linearfaktoren formuliert.

Anschließend wird die Aussage beispielsweise mithilfe einer Vorzeichentabelle dokumentiert und bestätigt.

 

Nullstellen der Funktion \(g\) berechnen:

 

\[\begin{align*} g(t) &= 0 \\[0.8em] 0{,}4 \cdot \left( 2t^{3} - 39t^{2} + 180t \right) &= 0 & &| \; t \; \text{ausklammern} \\[0.8em] 0{,}4t \cdot \left( 2t^{2} -39t + 180 \right) &= 0 \end{align*}\]

 

Ein Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Nulls ist.

 

\[\Longrightarrow \quad t_{1} = 0 \enspace \vee \enspace 2t^{2} -39t + 180 = 0\]

 

Die quadratische Gleichung \(2t^{2} -39t + 180 = 0\) wird mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst.

\[\begin{align*} t_{2,3} &= \frac{39 \pm \sqrt{(-39)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 180}}{2 \cdot 2} \\[0.8em] &= \frac{39 \pm \sqrt{81}}{4} \\[0.8em] &= \frac{39 \pm 9}{4} \end{align*}\]

 

\[t_{2} = \frac{39 - 9}{4} = 7{,}5\]

\[t_{3} = \frac{39 + 9}{4} = 12\]

 

Die Nullstellen der Funktion \(g\) sind \(t_{1} = 0\), \(t_{2} = 7{,}5\) und \(t_{3} = 12\).

 

Funktionsterm \(g(t)\) in seiner vollständig faktorisierten Form angeben:

Der Funktionsterm \(g(t)\) lässt sich mithilfe der Nullstellen als Produkt seiner Linearfaktoren formulieren.

 

\[\begin{align*}g(t) &= 0{,}4 \cdot \left( 2t^{3} - 39t^{2} + 180t \right) \\[0.8em] &= 0{,}4t \cdot (x - 7{,}5) \cdot (x - 12) \end{align*}\]

 

Aussage „Die Funktionswerte von \(g\) sind für \(0 < t < 7{,}5\) positiv und für \(7{,}5 < t < 12\) negativ" überprüfen:

Für eine nachvollziehbare Dokumentation und Bestätigung der Aussage bietet sich eine Vorzeichentabelle an.

 

\(t\)  \(0 < t < 7{,}5\) \(7{,}5 < t < 12\)
\(0{,}4t\) \(+\) \(+\)
\((x - 7{,}5)\) \(-\) \(+\)
\((x - 12)\) \(-\) \(-\)
\(g(t)\) \(+\) \(-\)

 

Ergebnis:

Wie die  Vorzeichentabelle zeigt, sind die Funktionswerte von \(g\) für \(0 < t < 7{,}5\) positiv und für \(7{,}5 < t < 12\) negativ.

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