Teilaufgabe 2e

Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(t) dt\) für \(0 \leq a < b \leq 12\) im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 150 m³ Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2e

 

Bestimmtes Integral im Sachzusammenhang interpretieren und berechnen

 

\[g(t) = 0{,}4 \cdot \left( 2t^{3} - 39t^{2} + 180t \right); D_{g} = \mathbb R\]

\[\int_{a}^{b} g(t)dt\]

\[0 \leq a < b \leq 12\]

 

Bedeutung des Werts des Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(t)dt\) für \(0 \leq a < b \leq 12\) im Sachzusammenhang

 

Allgemein gilt:

Beschreibt eine Funktion \(f\) die momentane Änderungsrate einer Größe in Abhängigkeit von der Zeit \(t\), so errechnet das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt\) die Gesamtänderung der Größe im Zeitintervall \([t_{1};t_{2}]\).

 

Gemäß der Angabe zu Teilaufgabe d beschreibt die Funktion \(g\) modellhaft die momentane Änderungsrate des Volumens des Wassers in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) mit \(0 \leq t \leq 12\) (\(t\) in Stunden ).

Entsprechend diesem Modell bedeutet der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(t)dt\) die Gesamtänderung des Wasservolumens in Kubikmeter für einen Zeitraum beginnend mit Zeitpunkt \(a\) nach Beobachtungsbeginn bis zu einem späteren Zeitpunkt \(b\). Ein positiver Wert des Integrals bedeutet ein im Zeitraum \([a;b]\) zugeflossenes Wasservolumen, ein negativer Wert bedeutet ein im Zeitraum \([a;b]\) abgeflossenes Wasservolumen.

 

Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet

Das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{7{,}5} g(t)dt\) errechnet das während 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn zugeflossene Wasservolumen. Da \(g\) für \(0 < t < 7{,}5\) positiv ist (positive momentane Änderungsrate, vgl. Teilaufgabe d) fließt Wasser zu.

Um das Volumen \(V\) des Wassers zu erhalten, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wird das zu Beobachtungsbeginn bereits im Becken vorhandene Wasservolumen 150 m³ zum zugeflossenen Wasservolumen addiert.

 

\[V = \int_{0}^{7{,}5} g(t) dt + 150\]

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{7{,}5} g(t) dt\) wird eine Stammfunktion \(G\) der Integrandenfunktion \(g\) benötigt.

 

Stammfunktion \(G\) von \(g\) bilden:

Eine Stammfunktion \(G\) der ganzrationalen Funktion \(g\) kann mithilfe des unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^{r} = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \; (r \neq -1)\) formuliert werden.

 

\[g(t) = 0{,}4 \cdot \left( 2t^{3} - 39t^{2} + 180t \right)\]

\[\begin{align*}\int g(t) dt &= \int 0{,}4 \cdot \left( 2t^{3} - 39t^{2} + 180t \right) dt \\[0.8em] &= 0{,}4 \cdot \left( 2 \cdot \frac{t^{3 + 1}}{3 + 1} - 39 \cdot \frac{t^{2 + 1}}{2 + 1} + 180 \cdot \frac{t^{1 + 1}}{1 + 1} \right) + C \\[0.8em] &= 0{,}4 \cdot \left( \frac{1}{2}t^{4} - \frac{39}{3}t^{3} + 90t^{2} \right) + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist \(G(t) = 0{,}4 \cdot \left( \dfrac{1}{2}t^{4} - \dfrac{39}{3}t^{3} + 90t^{2} \right)\) eine Stammfunktion von \(g\).

 

Volumen \(V\) berechnen:

 

\[\begin{align*} V &= \int_{0}^{7{,}5} g(t) dt + 150 \\[0.8em] &= \int_{0}^{7{,}5} 0{,}4 \cdot \left( 2t^{3} - 39t^{2} + 180t \right) dt + 150 \\[0.8em] &= \left[ 0{,}4 \cdot \left( \dfrac{1}{2}t^{4} - \dfrac{39}{3}t^{3} + 90t^{2} \right) \right]_{0}^{7{,}5} + 150 \\[0.8em] &= 0{,}4 \cdot \left[ \dfrac{1}{2}t^{4} - \dfrac{39}{3}t^{3} + 90t^{2} \right]_{0}^{7{,}5} + 150 \\[0.8em] &= 0{,}4 \cdot \left[ \frac{1}{2} \cdot 7{,}5^{4} - \frac{39}{3} \cdot 7{,}5^{3} + 90 \cdot 7{,}5^{2} - \left( \frac{1}{2} \cdot 0^{4} - \frac{39}{3} \cdot 0^{3} + 90 \cdot 0^{2} \right) \right] + 150 \\[0.8em] &= 0{,}4 \cdot (1160{,}15625 - 0) + 150 \\[0.8em] &\approx 614 \end{align*}\]

 

7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich ca. 614 m³ Wasser im Becken.

 

Begründung, dass es sich um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt

Aus der Angabe von Teilaufgabe d ist bekannt, dass die Funktionswerte von \(g\) für \(0 < t < 7{,}5\) positiv und für \(7{,}5 < t < 12\) negativ sind. Dabei beschreibt die Funktion \(g\) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens.

Eine positive momentane Änderungsrate des Wasservolumens bedeutet eine Zunahme des Wasservolumens in \(\frac{\sf{m^{3}}}{\sf{h}}\) zu einem betrachteten Zeitpunkt \(t\) und einen negative Änderungsrate des Wasservolumens bedeutet eine Abnahme des Wasservolumens in \(\frac{\sf{m^{3}}}{\sf{h}}\) zu einem betrachteten Zeitpunkt \(t\).

Folglich fließt für \(0 < t < 7{,}5\) Wasser zu und für \(7{,}5 < 0 < 12\) Wasser ab. Das maximale Wasservolumen im Becken wird demnach zum Zeitpunkt \(t = 7{,}5\) Stunden erreicht.

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