Teilaufgabe 1c

Zusätzlich ist die Funktion \(F\) mit \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}\) und \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Zeigen Sie, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und begründen Sie anhand des Terms von \(F\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \,+\infty} F(x) = 0\) gilt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Nachweis einer Stammfunktion, Verhalten im Unendlichen

 

Nachweis, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist

 

1. Möglichkeit; \(F'(x) = f(x)\) nachweisen

Gemäß der Definition einer Stammfunktion ist nachzuweisen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt. Der Funktionsterm \(F(x)\) lässt sich mithilfe der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, der Kettenregel sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten.

\[F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\]

\(f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right); \; D_{f} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 1)

\[\begin{align*} F'(x) &= 2e^{-x} \cdot (-1) - 2e^{-2x} \cdot (-2) \\[0.8em] &= -2e^{-x} + 4e^{-2x} & &| \; a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n} \\[0.8em] &= -2e^{-x} + 2e^{-x} \cdot 2e^{-x} & &| \; \text{Faktor}\; 2e^{-x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right) \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\).

 

2. Möglichkeit: Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) bilden

 

\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (ist nachzuweisen, vgl. Angabe)

\(f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right); \; D_{f} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 1)

 

Die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x) dx\).

 

\[\int f(x) dx = F(x) + C\]

 

\[f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right) = 4e^{-2x} - 2e^{-x}\]

 

Mithilfe der unbestimmten Integrale \(\displaystyle \int e^{x} dx = e^{x} + C\) und \(\displaystyle \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, ergibt sich:

\[\begin{align*} \int f(x) dx &= \int \Big( 4e^{-2x} - 2e^{-x} \Big) dx \\[0.8em] &= 4 \cdot \int \underbrace{e^{-2x}}_{\large{f(ax\,+\,b)}} dx - 2 \cdot \int \underbrace{e^{-x}}_{\large{f(ax\,+\,b)}} dx \\[0.8em] &= 4 \cdot \underbrace{\frac{1}{-2}}_{\large{\frac{1}{a}}} \cdot \underbrace{e^{-2x}}_{\large{F(ax\,+\,b)}} - 2 \cdot \underbrace{\frac{1}{-1}}_{\large{\frac{1}{a}}} \cdot \underbrace{e^{-x}}_{\large{F(ax\,+\,b)}} + C \\[0.8em] &= -2e^{-2x} + 2e^{-x} + C \\[0.8em] &= 2e^{-x} - 2e^{-2x} + C \end{align*}\]

 

Schlussfolgerung:

Die Funktion \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right)\) (für \(C = 0\)).

 

Begründung, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 0\) gilt

 

\[F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 2e^{-x} - 2e^{-2x} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 2e^{-x} - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 2e^{-2x} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{2}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,+\infty}} - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{2}{\underbrace{e^{2x}}_{\to\,+\infty}} \\[0.8em] &= 0 - 0 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

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