Teilaufgabe 2a

Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi 211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi 211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl 207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Pb 207. Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.

Abbildung 2 Aufgabe 2 Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2017 B

Der Zeitliche Verlauf des Bi 211-Anteils, des Tl 207-Anteils und des Pb 207-Anteils der Kerne im Gefäß lässt sich durch die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(B\), \(F\) bzw. \(P\) beschreiben, deren Terme der folgenden Tabelle zu entnehmen sind. Dabei ist \(F\) die in Aufgabe 1 betrachtete Funktion.

Tabelle Aufgabe 2 Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2017 B

Für jede der drei Funktionen bezeichnet \(x \geq 0\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit 6 Minuten. Beispielsweise bedeutet \(P(1) \approx 0{,}400\), dass sechs Minuten nach Beobachtungsbeginn etwa 40,0 % aller Kerne im Gefäß Pb 207-Kerne sind.

Bestimmen Sie jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Funktionswerte berechnen

 

\[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\]

\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)

\[P(x) = 1 - B(x) - F(x); \; D_{P} = \mathbb R\]

 

Zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn entspricht \(x = 2\).

 

\[B(2) = e^{-2 \cdot 2} = e^{-4} \approx 0{,}018 = 1{,}8\,\%\]

 

\[\begin{align*}F(2) &= 2e^{-2} - 2e^{-2 \cdot 2} \\[0.8em] &= 2e^{-2} - 2e^{-4} \\[0.8em] &\approx 0{,}234 \\[0.8em] &= 23{,}4\,\% \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}P(2) &= 1 - B(2) - F(2) \\[0.8em] &= 1 - 0{,}018 - 0{,}234 \\[0.8em] &= 0{,}748 \\[0.8em] &= 74{,}8\,\% \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1h Teilaufgabe 2b »