Teilaufgabe 2d

Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion \(P\) nach, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) = 1\) gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Grenzwertbetrachtung, Verhalten im Unendlichen, Grenzwert im Sachzusammenhang interpretieren

 

\[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\]

\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)

\[P(x) = 1 - B(x) - F(x); \; D_{P} = \mathbb R\]

 

Nachweis, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) = 1\) gilt

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \left( 1 - B(x) - F(x) \right) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 1 - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} B(x) - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) \\[0.8em] &= 1 - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} B(x) - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x)  \end{align*}\]

 

Aus Teilaufgabe 1c ist bekannt:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 0\]

 

Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} B(x)\) bestimmen:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} B(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} e^{-2x} = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1}{\underbrace{e^{2x}}_{\to\,0}} = 0\]

 

Somit folgt:

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) &= 1 - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} B(x) - \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) \\[0.8em] &= 1 - 0 - 0 \\[0.8em] &= 1 \end{align*}\]

 

Alternative Grenzwertbetrachtung am vollständig ausformulierten Funktionsterm \(P(x)\):

 

\[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\]

\(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c)

\[P(x) = 1 - B(x) - F(x); \; D_{P} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} P(x) &= 1 - B(x) - F(x) \\[0.8em] &= 1 - e^{-2x} - \left( 2e^{-x} - 2e^{-2x} \right) \\[0.8em] &= 1 - e^{-2x} - 2e^{-x} + 2e^{-2x} \\[0.8em] &= 1 - 2e^{-x} + e^{-2x} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \left( 1 - 2e^{-x} + e^{-2x} \right) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 1 - 2 \cdot \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} e^{-x} + \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} e^{-2x} \\[0.8em] &= 1 - 2 \cdot \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,+\infty}} + \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1}{\underbrace{e^{2x}}_{\to \,+\infty}} \\[0.8em] &= 1 - 2 \cdot 0 + 0 \\[0.8em] &= 1 \end{align*}\]

 

Bedeutung des Grenzwerts im Sachzusammenhang

Der radioaktive Stoff Bi 211, der sich entsprechend der Modellierung zu Beobachtungsbeginn ausschließlich in dem Gefäß befindet, wird langfristig vollständig (100 %) in den Stoff Pb 207 umgewandelt.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2c