Teilaufgabe a

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden.

Begründen Sie, dass die Gerade \(AB\) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene verläuft.

(1 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Lage einer Geraden im Koordinatensystem

 

\(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\)

 

1. Möglichkeit: Koordinatenvergleich

Die Punkte \(A(0|0|1)\) und \(B(2|6|1)\) haben die gleiche \(x_{3}\)-Koordinate. Keiner der Punkte \(A\) und \(B\) erfüllt die Gleichung der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene \(x_{3} = 0\). Folglich verläuft die Gerade \(AB\) (echt) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

 

\[\left. \begin{align*} &x_{3_{A}} = x_{3_{B}} \\[0.8em] &A,B \notin x_{1}x_{2}\text{-Ebene} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace AB \parallel x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]

 

2. Möglichkeit: Lagebeziehung Gerade - Ebene

Die Gerade \(AB\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(AB\) und der Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene zueinander senkrecht sind, und außerdem keiner der Punkte \(A\) und \(B\) in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene liegt.

 

Keiner der Punkte \(A(0|0|1)\) und \(B(2|6|1)\) erfüllt die Gleichung der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene \(x_{3} = 0\).

 

\[A,B \notin x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) der Gerden \(AB\) bestimmen:

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\):

Beispielsweise ist \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

 

Orthogonalität des Richtungsvektors \(\overrightarrow{AB}\) und des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}}\) nachweisen:

\[\begin{align*}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 2 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}}\]

 

Zusammenfassung:

 

\[\left. \begin{align*} &\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \\[0.8em] &A,B \notin x_{1}x_{2}\text{-Ebene} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace AB \parallel x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]

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