Teilaufgabe c

Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe dieses Winkels.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Schnittwinkel zweier Ebenen

 

Stumpfer Winkel α, den die Ebene E (Dreieck CDS) und die Ebene F (Dreieck DAS) im Innern des Zelts (Pyramide ABCDS) einschließen. Sitze Schnittwinkel β der Ebenen E und F

Stumpfer Winkel \(\alpha\), den die Ebene \(E\) (Dreieck \(CDS\)) und die Ebene \(F\) (Dreieck \(DAS\)) stellvertretend für zwei benachbarte Zeltwände im Innern des Zelts (Pyramide \(ABCDS\)) einschließen. Schnittwinkel \(\beta\) der Ebenen \(E\) und \(F\)

Der Schnittwinkel der Ebenen \(E\) und \(F\) ist der spitze Winkel zwischen zwei Geraden, welche in demselben Punkt auf der Schnittgerade senkrecht stehen und in der Ebene \(E\) bzw. in der Ebene \(F\) liegen.

Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren \(\overrightarrow{n}_{E}\) und \(\overrightarrow{n}_{F}\) festlegen (Zur besseren Übersicht nicht eingezeichnet).

Der stumpfe Winkel \(\alpha\) ergibt sich als Suplementärwinkel zum Schnittwinkel \(\beta\) (Ergänzungswinkel zu 180°).

 

\[\alpha = 180^{\circ} - \beta\]

Die Normalenvektoren \(\overrightarrow{n}_{E}\)  und \(\overrightarrow{n}_{F}\) können den Ebenengleichungen entnommen werden (vgl. Angabe und Teilaufgabe b).

\[E \colon 12x_{2} + 5x_{3} = 60 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix}\]

\[F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{F} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}\]

 

Schnittwinkel \(\beta\) der Ebenen \(E\) und \(F\) berechnen:

\[\begin{align*} \cos \beta &= \frac{\left| \overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{n}_{F} \right|}{\left| \overrightarrow{n}_{E} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{F} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 0 \cdot 12 + 12 \cdot 0 + 5 \cdot (-5) \vert}{\sqrt{0^{2} + {12}^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{{12}^{2} + 0^{2} + (-5)^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{\vert -25 \vert}{\sqrt{169} \cdot \sqrt{169}} \\[0.8em] &= \frac{25}{169} & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[3.2em] \beta &\approx 81{,}48^{\circ}\end{align*}\]

 

Stumpfen Winkel \(\alpha\) berechnen:

 

\[\alpha = 180^{\circ} - \beta = 180^{\circ} - 81{,}49^{\circ} = 98{,}51^{\circ}\]

 

Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Innern des Zelts einen stumpfen Winkel von ca. 98,51° ein.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe b Teilaufgabe d »