Teilaufgabe 1a

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Gehen Sie bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass 40 % aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

200 Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Binomialverteilung, binomialverteilte Zufallsgröße

 

Analyse der Angabe:

 

Laut Angabe ist davon auszugehen, dass 40 % aller Autos mit ESP ausgerüstet sind. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis „Ein zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet" mit \(p = 0{,}4\) konstant.

Da nur zwischen den sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen „Ein zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet" und „Ein zufällig ausgewähltes Auto ist nicht mit ESP ausgerüstet" unterschieden wird, liegt ein Bernoulli-Experiment vor.

„200 Autos werden nacheinander zufällig auswählt; ..."

\(\Longrightarrow \quad n = 200\) (Länge der Bernoulli-Kette)

 

„Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP."

\(\Longrightarrow \quad\)Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}4)\) binomialverteilt.

 

„... Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind."

\(\Longrightarrow \quad P_{0{,}4}^{200}(X \geq 70)\)

 

Betrachten des Gegenereignisses:

Um mit dem Stoschastischen Tafelwerk (ST) arbeiten zu können, wird die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}4}^{200}(X \geq 70)\) auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgeführt.

Dies erreicht man, indem man das Gegenereignis zum Ereignis „mindestens 70 von den ausgewählten Autos sind mit ESP ausgerüstet." betrachtet. Das Gegenereignis lautet: „Höchstens 69 der ausgewählten Autos sind mit ESP ausgerüstet."

\[\begin{align*} P_{0{,}4}^{200}(X \geq 70) &= 1 - P_{0{,}4}^{200}(X \leq 69) \\[0.8em] &= 1 - \sum \limits_{i\,=\,0}^{69} B(200;0{,}4; i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}06390 \\[0.8em] &= 0{,}93610 \\[0.8em] &\approx 93{,}6\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsvertelung der nach B(100;0,4) binomialverteilten Zufallsgröße X, Darstellung der Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ 69) und P(X ≥ 70)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(200;0{,}4)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Darstellung der Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}4}^{200}(X \leq 69)\) und \(P_{0{,}4}^{200}(X \geq 70)\)

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