Teilaufgabe 2c

30 der im Parkhaus stehenden Autos werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter genau 40 % mit ESP ausgerüstet sind.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge", Laplace-Wahrscheinlichkeit

 

Von den 100 Autos im Parkhaus sind 40 mit ESP ausgerüstet (vgl. Angabe). Jedes der 30 zufällig ausgewählten Autos wird einmalig ausgewählt (ohne Zurücklegen). Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Auto mit ESP auszuwählen, verändert sich mit jedem ausgewählten Auto.

Betrachtet wird das Ereignis: „40 % der 30 ausgewählten Autos sind mit ESP ausgerüstet." Dabei spielt es keine Rolle, welche der ausgewählten Autos mit ESP ausgerüstet sind (ohne Beachtung der Reihenfolge).

 

Anzahl der auszuwählenden Autos mit ESP berechnen:

 

\[0{,}4 \cdot 30 = 12\]

 

1. Lösungsansatz: Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

\(N\): 100 Autos stehen im Parkhaus.

\(n\): 30 Autos werden zufällig ausgewählt.

\(K\): 40 Autos im Parkhaus sind mit ESP ausgerüstet.

\(k\): 12 zufällig ausgewählte Autos sollen mit ESP ausgerüstet sein.

 

\[\begin{align*} P&= \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{40}{12} \cdot \binom{100 - 40}{30 - 12}}{\displaystyle \binom{100}{30}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{40}{12} \cdot \binom{60}{18}}{\displaystyle \binom{100}{30}} \\[0.8em] &\approx 0{,}176 \\[0.8em] &= 17{,}6\,\% \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{100}{30}\) gibt die Anzahl aller gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten (Ergebnisse) an, 30 Autos unter 100 Autos im Parkhaus auszuwählen. Die Auswahl kann somit als Laplace-Experiment betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „12 der 30 ausgewählten Autos sind mit ESP ausgerüstet" lässt sich mithilfe der Formel von Laplace berechnen.

 

Es sei \(C\) das Ereignis „12 der 30 ausgewählten Autos sind mit ESP ausgerüstet"

\[P(C) = \frac{\vert C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für}\;C\;\text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse}}\]

 

Anzahl der für das Ereignis \(C\) günstigen Ergebnisse:

Es gibt \(\displaystyle \binom{40}{12}\) Möglichkeiten, 12 Autos mit ESP von insgesamt 40 Autos mit ESP auszuwählen (ohne Beachtung der Reihenfolge).

Es verbleiben \(\displaystyle \binom{60}{18}\) Möglichkeiten, 18 Autos ohne ESP von insgesamt 60 Autos ohne ESP auszuwählen (ohne Beachtung der Reihenfolge).

 

Nach dem allgemeinen Zählprinzip folgt:

\[\vert C \vert = \binom{40}{12} \cdot \binom{60}{18}\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P(C)\) berechnen:

 

\[P(C) = \frac{\vert C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\displaystyle \binom{40}{12} \cdot \binom{60}{18}}{\displaystyle \binom{100}{30}} \approx 0{,}176 = 17{,}6\,\%\]

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