Teilaufgabe a

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %, eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %. Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, 65 % aller gekauften Samenkörner sind von der Qualität A.

In einem Gedankenexperiment werden die eingekauften Samenkörner zusammengeschüttet und gemischt. Bestimmen Sie mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms

α) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt;

β) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Baumdiagramm, Pfadregeln, Bedingte Wahrscheinlichkeit

 

Ereignisse festlegen:

 

\(A\): „Samenkorn ist von der Qualität A."

\(B\): „Samenkorn ist von der Qualität B." (entspricht \(\overline{A}\))

\(K\): „Samenkorn keimt."

\(\overline{K}\): „Samenkorn keimt nicht."

 

Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit \(P(A) = 0{,}65\) sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten  \(P_{A}(K) = 0{,}95\) und \(P_{B}(K) = 0{,}7\).

 

α) Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt

Da die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) gegeben ist, unterscheidet die erste Stufe des zu erstellenden Baumdiagramms die Ereignisse \(A\) und \(B\).

 

Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten \(P(A) = 0{,}65\), \(P_{A}(K) = 0{,}95\) und \(P_{B}(K) = 0{,}7\)

 

Die Wahrscheinlichkeit \(P(K)\) lässt sich mithilfe der Knotenregel sowie der 1. und 2. Pfadregel berechnen.

 

Beschriftetes Baumdiagramm, Darstellung der 2. Pfadregel zur Berechnung von P(K)
Beschriftetes Baumdiagramm und Darstellung der 2. Pfadregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(K)\)

 

Knotenregel anwenden:

\[P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P(K)\) mithilfe der 1. und 2. Pfadregel berechnen:

\[\begin{align*} P(K) &= P(A \cap K) + P(B \cap K) \\[0.8em] &= \underbrace{\underbrace{P(A) \cdot P_{A}(K)}_{\large{\text{1. Pfadregel}}} + \underbrace{P(B) \cdot P_{B}(K)}_{\large{\text{1. Pfadregel}}}}_{\large{\text{2. Pfadregel}}} \\[0.8em] &= 0{,}65 \cdot 0{,}95 + 0{,}35 \cdot 0{,}7 \\[0.8em] &= 0{,}8625 \\[0.8em] &= 86{,}25\,\% \end{align*}\]

  

β) Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{K}(B)\).

\[P_{K}(B) = \frac{P(B \cap K)}{P(K)}\]

 

Die Wahrscheinlichkeit \(P(K)\) wurde unter α) bereits berechnet. Die Wahrscheinlichkeit \(P(B \cap K)\) ergibt sich mithilfe der 1. Pfadregel.

 

\[P(K) = 0{,}8625\]

\[\begin{align*}P_{K}(B) &= \frac{P(B \cap K)}{P(K)} \\[0.8em] &= \frac{\overbrace{P(B) \cdot P_{B}(K)}^{\large{\text{1. Pfadregel}}}}{P(K)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}35 \cdot 0{,}7}{0{,}8625} \\[0.8em] &\approx 0{,}2841 \\[0.8em] &= 28{,}41\,\% \end{align*}\]

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