Teilaufgabe b

Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(E\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140."

\(F\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150."

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Binomialverteilung, binomialverteilte Zufallsgröße

 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Samenkorn der Qualität B keimt ist mit \(p = 0{,}7\) konstant (vgl. Angabe). Da nur zwischen den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen „Samenkorn der Qualität B keimt" und „Samenkorn der Qualität B keimt nicht" unterschieden wird, liegt ein Bernoulli-Experiment vor.

Das Aussäen von 200 Samenkörnern der Qualität B entspricht der Länge der Bernoulli-Kette \(n = 200\).

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der keimenden Samenkörner unter den gesäten Samenkörnern der Qualität B beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}7)\) binomialverteilt.

 

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\)

 

\(E\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140."

 

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(X = 140)\). Die Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ermitteln.

 

\(p = 0{,}7\), \(n = 200\), \(k = 140\)

 

\[\begin{align*}P(E) &= P_{0{,}7}^{200}(X = 140) \\[0.8em] &= B(200;0{,}7;140) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}06146 \\[0.8em] &\approx 6{,}15\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(200;0,7) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit B(200;0,7;140)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(200;0{,}7)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(X = 140)\)

 

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(F\)

 

\(F\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150."

 

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(130 < X < 150)\). Die Wahrscheinlichkeit lässt sich auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückführen, sodass das Stochastische Tafelwerk (ST) verwendet werden kann.

\(p = 0{,}7\), \(n = 200\)

 

\[\begin{align*} P(F) &= P_{0{,}7}^{200}(130 < X < 150) \\[0.8em] &= P_{0{,}7}^{200}(131 \leq X \leq 149) \\[0.8em] &= P_{0{,}7}^{200}(X \leq 149) - P_{0{,}7}^{200}(X \leq 130) \\[0.8em]&= \sum \limits_{i\,=\,0}^{149}B(200;0{,}7;i) - \sum \limits_{i\,=\,0}^{130}B(200;0{,}7;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}93045 - 0{,}07279 \\[0.8em] &= 0{,}85766 \\[0.8em] &\approx 85{,}77\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(200;0,7) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit P(130 < X < 150)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(200;0{,}7)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(130 < X < 150)\)

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