Teilaufgabe c

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms \(1 - P(X \geq 275)\), wobei \(X\) eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern \(n = 300\) und \(p = 0{,}95\) bezeichnet.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße im Sachzusammenhang beschreiben

 

\[1 - P(X \geq 275)\]

\(n = 300\), \(p = 0{,}95\)

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(300;0{,}95)\) binomialverteilt.

 

„Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ..." (vgl. Angabe)

Der Parameter \(p = 0{,}95\) lässt somit im Sachzusammenhang erkennen, dass die Zufallsgröße \(X\) die Anzahl keimender Samenkörner der Qualität A beschreibt.

Der Parameter \(n = 300\) bedeutet, dass das Keimen von 300 ausgesäten Samenkörner der Qualität A beobachtet wird.

 

Der Term \(P(X \geq 275)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 275 Samenkörner keimen.

Dann beschreibt der Term \(1 - P(X \geq 275)\) die Wahrscheinlichkeit dafür, das nicht mindestens 275 Samenkörner keimen, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 274 Samenkörner keimen. 

Dies lässt sich durch Termumformung bestätigen:

 

\[\begin{align*} 1 - P(X \geq 275) &= 1 - \left[ 1 - P(X \leq 274) \right] \\[0.8em] &= P(X \leq 274) \end{align*}\]

 

Ergebnis:

Der Term \(1 - P(X \geq 275)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 300 ausgesäten Samenkörner der Qualität A höchstens 274 Samenkörner keimen.

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