Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.
\[f_{1} \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\]
\[f_{2} \colon x \mapsto \ln{(x + 2)}\]
(4 BE)
Teilaufgabe 1
Lösung zu Teilaufgabe 1
\[f_{1}(x) = \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\]
Maximale Definitionsmenge von \(f_{1}\)
An den Nullstellen des Nennerterms ist die gebrochenrationale Funktion \(f_{1}\) nicht definiert. Nach Anwendung der 2. Binomischen Formel lassen sich die Nullstellen gut erkennen.
\[\begin{align*}f_{1}(x) &= \frac{2x + 3}{\underbrace{x^{2} - 4}_{\Large{a^{2}\,-\,b^{2}}}} &&| \; \text{2. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{2x + 3}{\underbrace{(x - 2)(x + 2)}_{\Large{(a\,-\,b)(a\,+\,b)}}} \end{align*}\]
Alternative: Nullstellen des Nenners durch Rechnung bestimmen
\[\begin{align*} x^{2} - 4 &= 0 &&| + 4 \\[0.8em] x^{2} &= 4 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D_{f_{1}} = \mathbb R \backslash \{-2:2\}\]
Nullstelle von \(f_{1}\)
Der Funktionswert der gebrochenrationalen Funktion \(f_{1}\) ist gleich Null, wenn der Zählerterm gleich Null ist.
\[\begin{align*}f_{1}(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x + 3 &= 0 &&| - 3 \\[0.8em] 2x &= -3 &&| : 2 \\[0.8em] x &= -\frac{3}{2} \end{align*}\]
\(x = -\dfrac{3}{2}\) ist einzige Nullstelle von \(f_{1}\).
\[f_{2}(x) = \ln{(x + 2)}\]
Maximale Definitionsmenge von \(f_{2}\)
Die Natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Das Argument \(x + 2\) der Funktion \(f_{2}\) darf somit nur positive Werte annehmen.
\[\begin{align*}f_{2} = \ln{(x + 2)} \quad \Longrightarrow \quad x + 2 &> 0 &&| - 2 \\[0.8em] x &> -2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad D_{f_{2}} = ]-2;+\infty[ \]
Nullstelle von \(f_{2}\)
Die Natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(x = 1\), d.h. es gilt: \(\ln{1} = 0\). Der Funktionswert von \(f_{2}\) ist also gleich Null, wenn das Argument \((x + 2)\) des Natürlichen Logarithmus den Wert \(1\) annimmt.
\[\begin{align*}f_{2}(x) &= 0 \\[0.8em] \ln{(\textcolor{#cc071e}{x + 2})} &= 0 &&| \; \ln{\textcolor{#cc071e}{1}} = 0 \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{x + 2} &= \textcolor{#cc071e}{1} &&| - 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
Alternative: Logarithmusgleichung lösen
\[\begin{align*} f_{2}(x) &= 0 \\[0.8em] \ln{(x + 2)} &= 0 &&| \; e^{(\dots)} \; \text{(zur Basis}\; e \; \text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{(x + 2)}} &= e^{0} &&| \; e^{\ln{x}} = x; \; e^{0} = 1 \\[0.8em] x + 2 &= 1 &&| - 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
\(x = -1\) ist einzige Nullstelle von \(f_{2}\).
