Teilaufgabe 5a

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Abbildung 1 Aufgabe 5a Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 5a

 

Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion \(f_{a}\).

 

Begründung:

 

1. Möglichkeit: Verhalten eines Graphen von \(f_{a}\) im Unendlichen betrachten

 

\[f_{a}(x) = \frac{1}{a} \cdot x^{3} - x; \; a \in \mathbb R^{+}\]

 

Das Verhalten im Unendlichen eines Graphen der ganzrationalen Funktionenschar \(f_{a}\) wird durch die höchste Potenz \(x^{3}\) zusammen mit dem Leitkoeffizienten \(\dfrac{1}{a}\) bestimmt. Mit \(a \in \mathbb R^{+}\) gilt \(\dfrac{1}{a} > 0\).

Graph der Funktion x ↦ x³
Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

Ein Graph von \(f_{a}\) verhält sich also für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) wie der Graph der Funktion \(x \mapsto x^{3}\).

Somit zeigt Abb. 2 einen Graphen der Funktion \(f_{a}\).

 

Alternative Begründung durch Grenzwertbestimmung:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f_{a}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \left(\frac{1}{a} \cdot x^{3} - x \right) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{\frac{1}{a}}_{\large{>\,0}} \cdot \underbrace{x^{3}}_{\to\,-\infty} = -\infty\]

 

bzw.

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f_{a}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \left(\frac{1}{a} \cdot x^{3} - x \right) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \underbrace{\frac{1}{a}}_{\large{>\,0}} \cdot \underbrace{x^{3}}_{\to\,+\infty} = +\infty\]

 

Also zeigt Abb. 2 einen Graphen der Funktion \(f_{a}\).

 

2. Möglichkeit: Monotonieverhalten eines Graphen von \(f_{a}\) betrachten

Das Monotonieverhalten eines Graphen von \(f_{a}\) an einer betrachteten Stelle \(x_{0}\) lässt sich mithilfe des Vorzeichens von \({f_{a}}'(x_{0})\) beurteilen.

Erste Ableitung \({f_{a}}'\) bilden:

Hierfür wird die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Summen- und die Faktorregel benötigt.

 

\[f_{a}(x) = \frac{1}{a} \cdot x^{3} - x; \; a \in \mathbb R^{+}\]

\[{f_{a}}'(x) = \frac{1}{a} \cdot 3 \cdot x^{2} - 1 = \frac{3}{a}x^{2} - 1\]

 

Beispielsweise unterscheiden sich die Graphen von Abb. 1 und Abb. 2 im Monotonieverhalten an der Stelle \(x_{0} = 0\).

 

\[{f_{a}}'(0) = \frac{3}{a} \cdot 0^{2} - 1 = -1 \quad \Longrightarrow \quad {f_{a}}'(0) < 0\]

 

Somit ist ein Graph von \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 0\) streng monoton fallend.

Also zeigt Abb. 2 einen Graphen der Funktion \(f_{a}\).

 

3. Möglichkeit: Krümmungsverhalten eines Graphen von \(f_{a}\) betrachten

Für die Beurteilung des Krümmungsverhaltens eines Graphen von \(f_{a}\) wird die zweite Ableitung \({f_{a}}''\) benötigt.

 

\[{f_{a}}'(x) = \frac{3}{a}x^{2} - 1\]

\[{f_{a}}''(x) = \frac{3}{a} \cdot 2 \cdot x - 0 = \frac{6}{a}x\]

 

Mit \(a \in \mathbb R^{+}\) folgt:

\({f_{a}}''(x) < 0\) für \(x < 0\) und \({f_{a}}''(x) > 0\) für \(x > 0\)

Somit ist ein Graph von \(f_{a}\) für \(x < 0\) rechtsgekrümmt und für \(x > 0\) linksgekrümmt.

Also zeigt Abb. 2 einen Graphen der Funktion \(f_{a}\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 4 Teilaufgabe 5b »