Teilaufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{3x - 5}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((3|f(3))\).

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

\[f(x) = \sqrt{3x - 5}\]

 

Maximaler Definitionsbereich der Funktion \(f\)

Der Ausdruck unter der Wurzel (Radikand) darf nicht negativ sein.

 

\[\begin{align*}3x - 5 &\geq 0 &&| + 5 \\[0.8em] 3x &\geq 5 &&| : 5 \\[0.8em] x &\geq \frac{5}{3}\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D = [\textstyle \frac{5}{3};\infty[\]

 

Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((3|f(3))\)

 Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \((3|f(3))\) berechnet:

 

\[f(3) = \sqrt{3 \cdot 3 - 5} \sqrt{4} = 2 \quad \Longrightarrow \quad (3|2)\]

 

Der Ansatz der Gleichung der Tangente \(T\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.

\[T \colon y = mx + t\]

 

Tangentensteigung berechnen:

Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(f\).

Die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) kann mithilfe der Ableitung einer Wurzelfunktion und der Kettenregel gebildet werden. Als Alternative formuliert man die Wurzelfunktion mithilfe des Potenzgesetzes \(\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\) (hier \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\)) vorab in der Potenzschreibweise.

 

\[f(x) = \sqrt{3x - 5} = (3x - 5)^{\frac{1}{2}}\]

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x - 5}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 5}}\]

 

oder

 

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (3x - 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \; a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \\[0.8em] &= \frac{3}{2\sqrt{3x - 5}} \end{align*}\]

 

Damit ergibt sich die Tangentensteigung zu:

\[m = f'(3) = \frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 3 - 5}} = \frac{3}{4}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T \colon y = \frac{3}{4}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:

Hierfür werden die Koordinaten des Punktes \((3|2)\) in die Gleichung der Tangente \(T\) eingesetzt und diese nach \(t\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} (3|2) \in T \colon 2 &= \frac{3}{4} \cdot 3 + t \\[0.8em] 2 &= \frac{9}{4} + t &&| -\frac{9}{4} \\[0.8em] -\frac{1}{4} &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T \colon y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\]

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