Teilaufgabe 2

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt:

(1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

(2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

(3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Nachweis von Eigenschaft (1)

(1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung des Graphen von \(f\). Es muss also \(f'(0) = -15\) gelten.

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die Erste Ableitung \(f'\) lässt sich mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie unter Berücksichtigung der Summen- und der Faktorregel bilden.

 

\[f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 15x - 25\]

\[\begin{align*}f'(x) &= (-1) \cdot 3 \cdot x^{2} + 9 \cdot 2 \cdot x - 15 + 0 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 18x - 15 \end{align*}\]

 

Damit ergibt sich:

 

\[f'(0) = -3 \cdot 0^{2} + 18 \cdot 0 - 15 = -15\]

 

Also besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

 

Nachweis von Eigenschaft (2)

(2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

Verlauf des Graphen der Funktion f in der Umgebung der Stelle x = 5

Damit die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 5\) (waagrechte) Tangente des Graphen von \(f\) ist, muss \(f'(5) = 0\) (Steigung gleich Null) und außerdem \(f(5) = 0\) (Nullstelle) )gelten.

 

\[\begin{align*}f'(5) &= -3 \cdot 5^{2} + 18 \cdot 5 - 15 \\[0.8em] &= -75 + 90 - 15 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f(5) &= -5^{3} + 9 \cdot 5^{2} - 15 \cdot 5 - 25 \\[0.8em] &= -125 + 225 - 75 - 25 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

Also besitzt der Graph von \(f\) im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

 

Nachweis von Eigenschaft (3)

(3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

 

1. Möglichkeit: \(B \in t\) und Steigung von \(G_{f}\) im Punkt \(B\) nachweisen

Bedingung I

Die Angabe der Koordinaten des Punktes \(B(-1|f(-1))\) sagt aus, dass \(B\) auf \(G_{f}\) liegt. Weist man nun mithilfe einer Punktprobe nach, dass \(B\) die Gleichung von \(t\) erfüllt, ist \(B\) ein gemeinsamer Punkt von \(G_{f}\) und \(t\).

Bedingung II

Um zu zeigen, dass \(y = -36x - 36\) die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(B\) beschreibt (und nicht einer beliebigen Geraden), muss zusätzlich nachgewiesen werden, dass \(G_{f}\) an der Stelle \(x = -1\) die Steigung \(-36\) hat.

Es müssen also folgende Gleichungen erfüllt sein:

 I)  \(\textcolor{#cc071e}{f(-1) = t(-1)}\) und

II)  \(\textcolor{#0087c1}{f'(-1) = -36}\)

Der \(y\)-Acshenabschnitt \(-36\) muss nicht bestätigt werden, da Bedingung I die Gültigkeit der Gleichung \(y = -36x - 36\) voraussetzt.

 

Nachweis, dass \(B\) ein gemeinsamer Punkt von \(G_{f}\) und \(t\) ist:

 

\[f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 15x - 25\]

\[t \colon y = -36x - 36\]

 

\[\begin{align*}f(-1) &= -(-1)^{3} + 9 \cdot (-1)^{2} - 15 \cdot (-1) - 25 \\[0.8em] &= 1 + 9 + 15 - 25 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

\[t(-1) = -36 \cdot (-1) - 36 = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(-1) = t(-1) = 0\]

 

Also ist der Punkt \(B(-1|f(-1))\) gemeinsamer Punkt der Graphen \(G_{f}\) und \(t\).

 

Nachweis, dass \(G_{f}\) an der Stelle \(x = -1\) die Steigung \(-36\) hat:

 

\(f'(x) = -3x^{2} + 18x - 15\) (vgl. Nachweis von Eigenschaft (1))

 

\[\begin{align*}f'(-1) &= -3 \cdot (-1)^{2} + 18 \cdot (-1) - 15 \\[0.8em] &= -3 - 18 - 15 \\[0.8em] &= -36 \end{align*}\]

 

Also kann die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

 

2. Möglichkeit: Gleichung der Tangente \(t\) aufstellen

Anmerkung:

Dieser Lösungsansatz ist etwas aufwendiger, da auch der \(y\)-Acshenabschnitt der Gleichung der Tangente \(t\) zu berechnen ist.

 

Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \(B\) berechnet:

 

\[\begin{align*}f(-1) &= -(-1)^{3} + 9 \cdot (-1)^{2} - 15 \cdot (-1) - 25 \\[0.8em] &= 1 + 9 + 15 - 25 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad B(-1|0)\]

 

Der Ansatz der Gleichung der Tangente \(t\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.

\[t \colon y = mx + c\]

 

Tangentensteigung berechnen:

Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(f\).

 

\(f'(x) = -3x^{2} + 18x - 15\) (vgl. Nachweis von Eigenschaft (1))

\[\begin{align*}m &= f'(-1) \\[0.8em] &= -3 \cdot (-1)^{2} + 18 \cdot (-1) - 15 \\[0.8em] &= -36\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad t \colon y = -36x + c\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(c\) berechnen:

Hierfür werden die Koordinaten des (Berühr)Punktes \(B\) in die Gleichung der Tangente \(t\) eingesetzt und diese nach \(c\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} B \in t \colon 0 &= -36 \cdot (-1) + c \\[0.8em] 0 &= 36 + c &&| -36 \\[0.8em] -36 &= c \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad t \colon y = -36x + -36\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 3 »