Teilaufgabe 3

Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\) gehört. Der Scheitel der Parabel hat die \(x\)-Koordinate 3.

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\).

Wie viele Nullstellen hat \(F\)?. Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

Abbildung Aufgabe 3 Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Die Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\) hat genau drei Nullstellen.

Erste Nullstelle von \(F\)

Jede Integralfunktion hat an der unteren Integrationsgrenze eine Nullstelle. Die Intergarlfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\) besitzt also die Nullstelle \(x_{1} = 3\).

 

Zweite und dritte Nullstellen von \(F\)

Nullstellen der Integralfunktion F

Für alle \(x \in \mathbb R\) lässt sich der Wert der Integralfunktion \(F\) als Flächenbilanz der Flächenstücke interpretieren, welche \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

Es gibt eine Stelle \(x_{2} < 1{,}5\), sodass \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse zwei flächeninhaltsgleiche Flächenstücke einschließt, von denen eines oberhalb und eines unterhalb der \(x\)-Achse liegt (unterschiedliche Vorzeichen). Somit ist die Flächenbilanz von \(F(x_{2})\) gleich Null. Das heißt, \(F\) hat an der Stelle \(x_{2}\) eine zweite Nullstelle \((x_{2} \approx 0{,}4)\).

Analog gilt: Es gibt eine Stelle \(x_{3} > 4{,}5\), sodass die Flächenbilanz von \(F(x_{3})\) gleich Null ist. Also ist \(x_{3}\) eine dritte Nullstelle von \(F\) \((x_{3} \approx 5{,}6)\).

 

Anmerkung:

Für \(x < 3\) ist die obere Integrationsgrenze der Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\)  kleiner als die feste untere Integrationsgrenze. Deshalb gehen Flächenstücke oberhalb der \(x\)-Achse negativ und Flächenstücke unterhalb der \(x\)-Achse positiv in die Flächenbilanz ein.

Während sich die erste Nullstelle mit \(x_{1} = 3\) exakt benennen lässt, müssen die zweite und dritte Nullstelle \(x_{2}\) und \(x_{3}\) nicht näherungsweise genannt werden. Es genügt zu begründen, weshalb \(F\) für \(x < 1{,}5\) und \(x > 4{,}5\) Nullstellen besitzt.

 

Begründung, weshalb es keine weiteren Nullstellen geben kann

Da \(G_{f}\) sowohl für \(x < 1{,}5\) als auch für \(x > 4{,}5\) stets unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, kann es neben den genannten Nullstellen keine weitere Stelle \(x\) geben, an der die Flächenbilanz der Integralfunktion \(F\) gleich Null ist.

Alternative Begründung:

Die abgebildete Parabel ist der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades (quadratische Funktion). Jede zugehörige Integralfunktion ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, welche maximal drei Nullstellen haben kann.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2 Teilaufgabe 4a »