Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(1|4|0)\) und Radius 6.

Bestimmen Sie alle Werte \(p \in \mathbb R\), für die der Punkt \(P(5|1|p)\) auf der Kugel liegt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

1. Möglichkeit: Betrag eines Vektors anwenden

Da der Punkt \(P\) auf der Kugel liegt, muss der Abstand \(d(P;M)\) von \(P\) zum Mittelpunkt \(M\) gleich dem Radius 6 der Kugel sein.

 

\[d(P;M) = \vert \overrightarrow{MP} \vert = 6\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{MP}\) bestimmen:

 

\(M(1|4|0)\), \(P(5|1|p)\)

 

\[\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ p \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ p \end{pmatrix}\]

 

Betrag (Länge) des Vektors \(\overrightarrow{MP}\) berechnen:

\[\vert \overrightarrow{MP} \vert = \left| \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ p \end{pmatrix} \right| = \sqrt{4^{2} + (-3)^{2} + p^{2}} = \sqrt{25 + p^{2}}\]

 

Alle Werte \(p \in \mathbb R\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} \vert \overrightarrow{MP} \vert = 6 \\[0.8em] \sqrt{25 + p^{2}} &= 6 &&| \; (\dots)^{2} \enspace \text{(Wurzelgleichung quadrieren)} \\[0.8em] 25 + p^{2} & = 36 &&| - 25 \\[0.8em] p^{2} &= 11 &&| \; \sqrt{\quad} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad p_{1} = -\sqrt{11} \; \vee \; p_{2} = \sqrt{11}\]

 

2. Möglichkeit: Kugelgleichung aufstellen

Durch die Angabe des Mittelpunkts \(M(1|4|0)\) und des Radius \(r = 6\) ist die Gleichung der Kugel \(K\) eindeutig festgelegt. Sie lässt sich beispielsweise in Koordinatendarstellung formulieren.

\[\begin{align*} &K \colon (x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + (x_{3} - 0)^{2} = 6^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + {x_{3}}^{2} = 36\end{align*}\]

 

Der Punkt \(P(5|1|p)\) auf der Kugel(oberfläche) muss die Kugelgleichung erfüllen.

 

\[\begin{align*}P \in K \colon (p_{1} - 1)^{2} + (p_{2} - 4)^{2} + {p_{3}}^{2} &= 36 \\[0.8em] (5 - 1)^{2} + (1 - 4)^{2} + p^{2} &= 36 \\[0.8em] 4^{2} + (-3)^{2} + p^{2} &= 36 \\[0.8em] 25 + p^{2} & = 36 &&| - 25 \\[0.8em] p^{2} &= 11 &&| \; \sqrt{\quad}\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad p_{1} = -\sqrt{11} \; \vee \; p_{2} = \sqrt{11}\]

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