Teilaufgabe 1b

Die Gerade \(g\) berührt die Kugel im Punkt \(B(-3|8|2)\). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von \(g\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Gerade g berührt die Kugel im Punkt B

Es gibt unendliche viele Geraden, welche die Kugel im Punkt \(B\) berühren. Da eine Tangente an eine Kugel stets senkrecht zum Kugelradius verläuft, gilt für alle diese Geraden, dass der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) und der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{BM}\) zueinander senkrecht sind.

Folglich muss das Skalarprodukt der Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{BM}\) gleich Null sein.

\[\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{BM} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{BM} = 0\]

 

Mit dem Aufpunkt \(B(-3|8|2)\) und dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) ist einen Gleichung der Geraden \(g\) in Parameterform gegeben durch:

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}, \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{BM}\) berechnen:

 

\(B(-3|8|2)\), \(M(1|4|0)\)

 

\[\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) durch Überlegung bestimmen:

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{BM} &= 0 \\[0.8em] \overrightarrow{u} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*}\]

 

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für den Richtungsvektor \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{pmatrix}\).

Wählt man beispielsweise für die dritte Vektorkoordinate \(u_{3} = 0\), so muss \(u_{1} = u_{2}\) gelten, damit die Vektorgleichung \(\overrightarrow{u} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) erfüllt ist.

Denn es gilt:

\[\begin{align*}\begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] u_{1} \cdot 4 + u_{2} \cdot (-4) + 0 \cdot (-2) &= 0 \\[0.8em] 4u_{1} - 4u_{2} &= 0 &&| \; u_{1} = u_{2} \\[0.8em] 0 &= 0 \end{align*}\]

 

Beispielsweise ist \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ein möglicher Richtungsvektor der Gleichung der Geraden \(g\), ebenso wie \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder\( \begin{pmatrix} -10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}\) usw.

Eine mögliche Gleichung der Geraden \(g\) ist also:

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]

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