Teilaufgabe 1a

Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Normalenvektor der Ebene E

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) der linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform (Abbildung schematisch). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(A\), \(B\) oder \(C\). Damit lässt sich einen Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mit Hilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen.

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) berechnen:

\(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\), \(C(-1|2|0)\)

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 & \cdot & (-1) & - & 1 & \cdot & 1 \\ 1 & \cdot & (-2) & - & (-1) & \cdot & (-1) \\ (-1) & \cdot & 1 & - & 1 & \cdot & (-2) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\end{align*}\]

 

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform beschreiben:

Der Punkt \(A(1|1|1)\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*}E \colon &\overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \\[0.8em] E \colon &\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{2 \cdot (x_{1} - 1) + 3 \cdot (x_{2} - 1) - 1 \cdot (x_{3} - 1) = 0} \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{2x_{1} - 2 + 3x_{1} - 3 - x_{3} + 1 = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{E \colon \,} &\textcolor{#0087c1}{2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} - 4 = 0}\end{align*}\]

 

Anmerkung:

Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(A(1|1|1)\)

 

\[\begin{align*}&E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &E \colon 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} A \in E \colon 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 4 + n_{0} &= 0 &&| - 4 \\[0.8em] n_{0} &= -4 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} - 4 = 0\]

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