Teilaufgabe 2a

Gegeben Sind die Punkte \(A(0|0|0)\), \(B(3|-6|6)\) und \(F(2|-4|4)\) sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\). Zeigen Sie, dass sich \(g\) und \(h\) im Punkt \(F\) senkrecht schneiden.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]

\(F(2|-4|4)\)

 

Eine Gleichung der Geraden \(h\) ist beispielsweise gegeben durch:

\[h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \mu \cdot \overrightarrow{B}, \; \mu \in \mathbb R\]

 

Anmerkung: Mit \(A(0|0|0)\) gilt \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B}\).

 

Mit \(\overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) lautet eine Gleichung von \(h\) also:

 

\[h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \; \mu \in \mathbb R\]

 

Nachweis, dass sich \(g\) und \(h\) im Punkt \(F\) schneiden:

 

1. Möglichkeit: Punktprobe \(F \in g\) und \(F \in h\)

Es ist zu überprüfen, ob der Ortsvektor \(\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\) sowohl die Gleichung der Gerden \(g\) als auch die Gleichung der Geraden \(h\) erfüllt.

 

\[F \in g \colon \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \begin{cases} \enspace \; 2 &= -2\lambda \quad &\Longleftrightarrow \quad \lambda = -1 \\[0.8em] -4 &= -4 \; &(\text{wahre Aussage für alle}\; \lambda \in \mathbb R) \\[0.8em] \enspace \; 4 &= 5 + \lambda \quad &\Longleftrightarrow \quad \lambda = -1 \end{cases}\]

 

Für \(\lambda = -1\) sind alle drei Gleichungen erfüllt. Somit liegt der Punkt \(F\) auf der Geraden \(g\).

 

\[F \in h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \begin{cases}\; \quad \mu &= 2 \\[0.8em] -2\mu &= -4 \quad &\Longleftrightarrow \quad \mu = 2 \\[0.8em] \; \enspace 2\mu &= 4 \quad &\Longleftrightarrow \quad \mu = 2 \end{cases}\]

 

Für \(\mu = 2\) sind alle drei Gleichungen erfüllt. Somit liegt der Punkt \(F\) auf der Geraden \(h\).

Also schneiden sich die Gerade \(g\) und die Gerade \(h\) im Punkt \(F\).

 

2. Möglichkeit: Ansatz zur Schnittpunktberechnung der Geraden \(g\) und \(h\) \((g \cap h)\)

Hierfür werden die Ortsvektoren \(\overrightarrow{X}\) der Gleichungen der Geraden \(g\) und \(h\) gleichgesetzt.

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{X_{g}} &= \overrightarrow{X_{h}} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Zeilenweise gelesen ergibt die Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem für die zu bestimmenden Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\).

 

\[\begin{align*} \text{I} & & & \qquad \, -2\lambda = \; \quad  \mu \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & -4 \qquad \enspace \; = -2\mu \quad \Longleftrightarrow \quad \mu = 2 \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace & \quad \; 5 + \enspace \;\, \lambda = \; \enspace 2\mu \end{align*}\]

 

\[ \mu = 2 \; \text{in I} \colon \;  -2\lambda = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda = -1\]

 

\[\begin{align*} \lambda = -1, \; \mu = 2 \; \text{in III} \colon \; 5 + (-1) &= 2 \cdot 2 \\[0.8em] 4 &= 4 \quad (\text{w}) \end{align*}\]

  

\(\lambda = -1\) und \(\mu = 2\) ist eindeutige Lösung des Gleichungssystems.

 

Ortsvektor des Schnittpunkts berechnen:

Hierfür wird \(\lambda = -1\) in die Gleichung der Geraden \(g\) oder \(\mu = 2\) in die Gleichung der geraden \(h\) eingesetzt.

 

\[\lambda = -1 \; \text{in} \; g \colon \; \overrightarrow{X} =\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{F}\]

 

oder

 

\[\mu = 2 \; \text{in} \; h \colon \; \overrightarrow{X} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{F}\]

 

Also schneiden sich die Gerade \(g\) und die Gerade \(h\) im Punkt \(F\).

 

Nachweis, dass sich \(g\) und \(h\) senkrecht schneiden:

Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geradengleichungen muss gleich Null sein.

\[\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = (-2) \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad g \perp h\]

 

Somit schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) senkrecht im Punkt \(F\).

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