Teilaufgabe 1a

In Sonnenstadt gibt es 6000 Einfamilienhäuser, von denen 2400 mit einer Holzpelletheizung ausgestattet sind. Bei zwei Drittel der Einfamilienhäuser mit Holzpelletheizung ist diese mit einer solarthermischen Anlage kombiniert. 50 % aller Einfamilienhäuser sind weder mit einer Holzpelletheizung noch mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet.

Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(H\): „Einfamilienhaus ist mit einer Holzpelletheizung ausgestattet."

\(\overline{H}\): „Einfamilienhaus ist nicht mit einer Holpelletheizung ausgestattet."

\(S\): „Einfamilienhaus ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet."

\(\overline{S}\): „Einfamilienhaus ist nicht mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet."

 

Gegeben sind folgende absolute Häufigkeiten (Anzahlen):

 

\[\vert \Omega \vert = \textcolor{#89ba17}{6000}\]

\[\vert H \vert = \textcolor{#89ba17}{2400}\]

\[\vert S \cap H \vert = \frac{2}{3} \cdot 2400 = \textcolor{#89ba17}{1600}\]

\[\vert \overline{H} \cap \overline{S} \vert = 0{,}5 \cdot 6000 = \textcolor{#89ba17}{3000}\]

 

1.Möglichkeit: Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten

  \(H\) \(\overline{H}\)  
\(S\) \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{1600}}\) \(600\) \(2200\)
\(\overline{S}\) \(800\) \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{3000}}\) \(3800\)
  \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{2400}}\) \(3600\) \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{6000}}\)

 

Beispielsweise lässt sich die Vierfeldertafel durch zeilen- bzw. spaltenweise Subtraktion oder Addition wie folgt ausfüllen:

 

\[\vert \overline{H} \vert = \vert \Omega \vert - \vert H \vert = 6000 - 2400 = 3600\]

\[\vert H \cap \overline{S} \vert = \vert H \vert - \vert H \cap S \vert = 2400 - 1600 = 800\]

\[\vert \overline{H} \cap S \vert = \vert \overline{H} \vert - \vert \overline{H} \cap \overline{S} \vert = 3600 - 3000 = 600\]

\[\vert S \vert = \vert H \cap S \vert + \vert \overline{H} \cap S \vert = 1600 + 600 = 2200\]

\[\vert \overline{S} \vert = \vert \Omega \vert - \vert S \vert = 6000 - 2200 = 3800\]

 

2. Möglichkeit: Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten

Anmerkung:

Diese Möglichkeit ist in diesem Fall rechenintensiver und daher zeitaufwendiger.

 

Aus den gegebenen absoluten Häufigkeiten errechnen sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

\[P(\Omega) = \textcolor{#89ba17}{1}\]

\[P(H) = \frac{\vert H \vert}{\vert \Omega \vert} = \textcolor{#89ba17}{\frac{2400}{6000} = \frac{2}{5}}\]

\[P(S \cap H) = \frac{\vert S \cap H \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 2400}{6000} = \textcolor{#89ba17}{\frac{1600}{6000} = \frac{4}{15}}\]

\[P(\overline{H} \cap \overline{S}) = \frac{\vert \overline{H} \cap \overline{S} \vert}{\vert \Omega \vert} = \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{2} = \frac{3000}{6000}}\]

 

Durch zeilen- bzw. spaltenweise Subtraktion oder Addition ergibt sich:

 

  \(H\) \(\overline{H}\)  
\(S\) \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{\frac{1600}{6000} = \frac{4}{15}}}\) \(\frac{600}{6000} = \frac{1}{10}\) \(\frac{2200}{6000} = \frac{11}{30}\)
\(\overline{S}\) \(\frac{800}{6000} = \frac{2}{15}\) \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{\frac{3000}{6000} = \frac{1}{2}}}\) \(\frac{3800}{6000} = \frac{19}{30}\)
  \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{\frac{2400}{6000} = \frac{2}{5}}}\) \(\frac{3600}{6000} = \frac{3}{5}\) \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{1}}\)
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