Teilaufgabe 1d

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte \(c \in \; ]0;6[\) gibt, für die gilt: \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{c} f(x) dx = 0\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

\[\int_{e^{-1}}^{c} f(x)dx = 0; \; c \in \; ]0;6[\]

Die untere Integrationsgrenze \(c_{1} = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}34 \in \; ]0;6[\) ist die erste Nullstelle, da \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e^{-1}} f(x)dx = 0\) gilt.

 

Flächenbilanz der Flächenstücke, die der Graph der Funktion f im Intervall [e;6] mit der x-Achse einschließt.

Abbildung 1 zeigt, dass \(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\left| \int_{e^{-1}}^{e}f(x)dx \right|} < \textcolor{#0087c1}{\int_{e}^{6} f(x)dx}\) gilt.

Beispielsweise ergibt sich durch „Kästchenzählen":

 

\[\textcolor{#cc071e}{\left| \int_{e^{-1}}^{e}f(x)dx \right| \approx 11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75}\]

\[\textcolor{#0087c1}{\int_{e}^{6} f(x)dx \approx 28 \cdot 0{,}25 = 7}\]

 

Folglich gibt es einen weiteren Wert \(c_{2} \in \; ]e;6[\), sodass die Flächenbilanz des Integrals \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{c_{2}}f(x)dx\) gleich Null ist \((c_{2} \approx 4{,}74)\).

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