Teilaufgabe 1f

Im IV. Quadranten schließt \(G_{f}\) zusammen mit der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = 2\) ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa \(1{,}623\) beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion \(h\) als Näherung für die Funktion \(f\) verwendet wird.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1f

 

Flächenstück, welches der Graph der Funktion f im IV. Quadranten mit der x-Achse einschließt

Des Flächenstück, das \(G_{f}\) im IV. Quadranten zusammen mit der \(x\)-Achse und den Geraden \(x = 1\) und \(x = 2\) einschließt, liegt unterhalb der \(x\)-Achse. Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx\) ist somit negativ. Um mithilfe der Funktion \(h\) einen positiven Näherungswert für den Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks zu berechnen, wird der Betrag des Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{2} h(x) dx\) gewählt.

 

\[A \approx \left| \int_{1}^{2} h(x) dx \right| = \left| \int_{1}^{2} \left(1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\right)dx \right|\]

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{2} h(x) dx\) wird eine Stammfunktion \(H(x)\) der Integrandenfunktion \(h(x)\) benötigt. Die Menge aller Stammfunktionen von \(h(x)\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int h(x) dx\).

\[\begin{align*} \int h(x) dx &= \int \left(1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\right)dx \\[0.8em] &= 1{,}5 \cdot \frac{1}{2}x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert} + C \\[0.8em] &= 0{,}75x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert}\end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist \(H(x) = 0{,}75x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert}\) eine Stammfunktion von \(h(x)\).

Damit lässt sich ein Näherungswert des Flächeninhalts \(A\) unter Verwendung der Funktion \(h\) wie folgt berechnen:

\[\begin{align*}A &\approx \left| \int_{1}^{2} h(x) dx \right| \\[0.8em] &= \left| \int_{1}^{2} \left(1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\right)dx \right| \\[0.8em] &= \left| \left[ 0{,}75x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert} \right]_{1}^{2} \right| \\[0.8em] &= \left| 0{,}75 \cdot 2^{2} - 4{,}5 \cdot 2 + \ln{\vert 2 \vert} - \left( 0{,}75 \cdot 1^{2} - 4{,}5 \cdot 1 + \ln{\vert 1 \vert} \right) \right| \\[0.8em] &= \left| 3 - 9 + \ln{2} - \left( 0{,}75 - 4{,}5 + 0 \right) \right| \\[0.8em] &= \left| -6 + \ln{2} + 3{,}75 \right| \\[0.8em] &= \left| -2{,}25 + \ln{2} \right| \\[0.8em] &= 2{,}25 - \ln{2} \\[0.8em] &\approx 1{,}557 \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Das Ergebnis wird auf drei Dezimalen gerundet, da der Wert \(1{,}623\) mit drei Dezimalen gegeben ist.

 

Prozentuale Abweichung der Näherung berechnen:

 

\[\frac{1{,}623 - 1{,}557}{1{,}623} \cdot 100\,\% \approx 4{,}1\,\%\]

 

Die Näherung unter Verwendung der Funktion \(h\) errechnet einen ca. 4,1 % kleineren Flächeninhalt.

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