Im IV. Quadranten schließt \(G_{f}\) zusammen mit der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = 2\) ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa \(1{,}623\) beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion \(h\) als Näherung für die Funktion \(f\) verwendet wird.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1f

 

Flächenstück, welches der Graph der Funktion f im IV. Quadranten mit der x-Achse einschließt

Des Flächenstück, das \(G_{f}\) im IV. Quadranten zusammen mit der \(x\)-Achse und den Geraden \(x = 1\) und \(x = 2\) einschließt, liegt unterhalb der \(x\)-Achse. Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx\) ist somit negativ. Um mithilfe der Funktion \(h\) einen positiven Näherungswert für den Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks zu berechnen, wird der Betrag des Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{2} h(x) dx\) gewählt.

 

\[A \approx \left| \int_{1}^{2} h(x) dx \right| = \left| \int_{1}^{2} \left(1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\right)dx \right|\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{2} h(x) dx\) wird eine Stammfunktion \(H(x)\) der Integrandenfunktion \(h(x)\) benötigt. Die Menge aller Stammfunktionen von \(h(x)\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int h(x) dx\).

Wichtige unbestimmte Integrale

Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)

\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]

\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]

\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]

\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]

\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]

\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]

\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]

\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

Es gilt die Faktorregel und die Summenregel:

\(\displaystyle \int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

\( \displaystyle \int \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)

\[\begin{align*} \int h(x) dx &= \int \left(1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\right)dx \\[0.8em] &= 1{,}5 \cdot \frac{1}{2}x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert} + C \\[0.8em] &= 0{,}75x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert} + C\end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist \(H(x) = 0{,}75x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert}\) eine Stammfunktion von \(h(x)\).

Damit lässt sich ein Näherungswert des Flächeninhalts \(A\) unter Verwendung der Funktion \(h\) wie folgt berechnen:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*}A &\approx \left| \int_{1}^{2} h(x) dx \right| \\[0.8em] &= \left| \int_{1}^{2} \left(1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\right)dx \right| \\[0.8em] &= \left| \left[ 0{,}75x^{2} - 4{,}5x + \ln{\vert x \vert} \right]_{1}^{2} \right| \\[0.8em] &= \left| 0{,}75 \cdot 2^{2} - 4{,}5 \cdot 2 + \ln{\vert 2 \vert} - \left( 0{,}75 \cdot 1^{2} - 4{,}5 \cdot 1 + \ln{\vert 1 \vert} \right) \right| \\[0.8em] &= \left| 3 - 9 + \ln{2} - \left( 0{,}75 - 4{,}5 + 0 \right) \right| \\[0.8em] &= \left| -6 + \ln{2} + 3{,}75 \right| \\[0.8em] &= \left| -2{,}25 + \ln{2} \right| \\[0.8em] &= 2{,}25 - \ln{2} \\[0.8em] &\approx 1{,}557 \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Das Ergebnis wird auf drei Dezimalen gerundet, da der Wert \(1{,}623\) mit drei Dezimalen gegeben ist.

 

Prozentuale Abweichung der Näherung berechnen:

 

\[\frac{1{,}623 - 1{,}557}{1{,}623} \cdot 100\,\% \approx 4{,}1\,\%\]

 

Die Näherung unter Verwendung der Funktion \(h\) errechnet einen ca. 4,1 % kleineren Flächeninhalt.