Teilaufgabe 2c

Abbildung 2 Aufgabe 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 BAbb. 2

Im Folgenden wird die „w-förmige" Kurve \(k\) betrachtet, die sich aus dem auf \(0{,}2 \leq x \leq 4\) beschränkten Teil von \(G_{f}\) und dem auf \(4 < x \leq 7{,}8\) beschränkten Teil von \(G_{g}\) zusammensetzt. Die Kurze \(k\) wird um 12 Einheiten in negative \(z\)-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und die rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Schnittwinkel der Graphen der Funktionen f und g an der Stelle x = 4
 

Die Größe Des Winkels, den die Tunnelwände miteinander einschließen entspricht dem Schnittwinkel \(\beta\) von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) an der Stelle \(x = 4\), also dem Schnittwinkel der Tangenten an \(G_{f}\) bzw. \(G_{g}\) an der Stelle \(x = 4\). Er lässt sich mithilfe des Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente an \(G_{f}\) bestimmen. Wegen der Symmetrie von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) bezüglich der Geraden \(x = 4\) gilt: \(\beta = 180^{\circ} - 2 \cdot \alpha\).

 

Steigungswinkel \(\alpha\) berechnen:

Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\).Also berechnet \(f'(4)\) die Steigung \(m\) der Tangente an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\).

\[m = f'(4)\]

 

\(f'(x) = \dfrac{4}{x} \cdot \ln{x}\) (vgl. Teilaufgabe 1a)

 

Für den Steigungswinkel \(\alpha\)l der Tangente gilt somit:

\[\tan{\alpha} = m = f'(4) = \frac{4}{4} \cdot \ln{4} = 2\ln{2}\]

 

\[\alpha = \tan^{-1}(2\ln{2}) \approx 54{,}2^{\circ}\]

 

Schnittwinkel \(\beta\) berechnen:

 

\[\beta = 180^{\circ} - 2 \cdot 54{,}2^{\circ} = 71{,}6^{\circ}\]

 

Die linke und die rechte Tunnelwand schließen einen Winkel von ca. 71,6° miteinander ein.

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