Teilaufgabe e

Um das Abfließen des Regenwassers sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens 8° gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründen Sie, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Der Neigungswinkel des Sonnensegels gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(E\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider Ebenen einschließen.

Beispielsweise ist \(n_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

Aus Teilaufgabe a ist ein Normalenvektor der Ebene E mit \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix}\) bereits bekannt.

\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 12 \cdot 1 \vert}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {12}^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{12}{\sqrt{146}} & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[1.6em] \alpha &= \cos^{-1}\left( \frac{12}{\sqrt{146}} \right) \approx 6{,}7^{\circ}\end{align*}\]

 

Mit \(6{,}7^{\circ} < 8^{\circ}\) ist das Abfließen des Regenwassers nicht sichergestellt.

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