Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
(3 BE)
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
(3 BE)
Der Winkel, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(L\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider Ebenen einschließen.
Beispielsweise ist \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.
Aus Teilaufgabe b ist ein Normalenvektor der Ebene \(L\) mit \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) bereits bekannt.
\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \vert}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{3}{\sqrt{17}} & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[1.6em] \alpha &= \cos^{-1}\left( \frac{3}{\sqrt{17}} \right) \approx 43{,}3^{\circ}\end{align*}\]
Die Kletterwand schließt mit dem Untergrund einen Winkel von ca. 43,3° ein.