Teilaufgabe d

Lösung zu Teilaufgabe d

Der Winkel, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(L\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider Ebenen einschließen.

Beispielsweise ist \(n_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

Aus Teilaufgabe b ist ein Normalenvektor der Ebene \(L\) mit \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) bereits bekannt.

Schnittwinkel zweier Ebenen

Schnittwinkel zweier Ebenen

Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen

\[E_1\colon \enspace \overrightarrow{n}_1 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]

\[E_2\colon \enspace \overrightarrow{n}_2 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{B} \right) = 0\]

\[\cos \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \vert}{\vert \overrightarrow{n}_1 \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_2 \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \cos^{-1}(\dots)\]

\[(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ})\]

\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \vert}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{3}{\sqrt{17}} & &| \; \text{TR:} \; \cos^{-1}(\dots) \\[1.6em] \alpha &= \cos^{-1}\left( \frac{3}{\sqrt{17}} \right) \approx 43{,}3^{\circ}\end{align*}\]

Die Kletterwand schließt mit dem Untergrund einen Winkel von ca. 43,3° ein.