Teilaufgabe f

Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke \([RT]\) dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten \((5|10|h)\) mit einer reellen Zahl \(h > 3\). Die untere Netzkante liegt auf der Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\,\).

Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe f

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Den \(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(R(5|7|3)\) und \(T(2|10|3)\) ist zu entnehmen, dass sich Plattform 2 horizontal in einer Höhe von drei Metern befindet. Der Abstand \(d\) des Eckpunkts \((5|10|h)\) von der Plattform 2 kann folglich mit \(d = h - 3\) berechnet werden.

Gerade g (untere Netzkante) durch Eckpunkt (5|10|h) berührt Strecke [RT]
 

Die Gerade \(g\) (untere Netzkante) berührt die Strecke \([RT]\) bzw. die Gerade \(RT\), welche durch die Punkte \(R\) und \(T\) verläuft.

Der Ansatz \(g \cap RT\) für die Berechnung des Berührpunktes der beiden Geraden liefert den Wert des Parameters \(h\) des Richtungsvektors \(\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{pmatrix}\) der Geraden \(g\) und damit auch des Eckpunkts \((5|10|h)\).

 

Eine Gleichung der Geraden \(RT\) ist beispielsweise gegeben durch:

\[RT \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{R} + \mu \cdot \overrightarrow{RT}, \; \mu \in \mathbb R\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{RT}\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{RT} = \overrightarrow{T} - \overrightarrow{R} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad RT \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \mu \in \mathbb R\]

 

Für den Ansatz \(g \cap RT\) werden die Ortsvektoren \(\overrightarrow{X}\) der Gleichungen der Geraden \(g\) und \(RT\) gleichgesetzt.

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{X_{g}} &= \overrightarrow{X_{RT}} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Zeilenweise gelesen ergibt die Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem für die zu bestimmenden Unbekannten \(\lambda\), \(\mu\) und \(h\).

 

\[\begin{align*} \text{I} & & & \hspace{79px} 5\lambda = 5 - 3\mu \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \hspace{72px} 10\lambda = 7 + 3\mu \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace & 2 + \lambda \cdot (h - 2) = 3 \end{align*} \]

 

Es bietet sich das Additionsverfahren an:

 

\[\text{I} + \text{II} \colon \; 15 \lambda = 12 \; \Leftrightarrow \; \lambda = \frac{4}{5} = 0{,}8\]

\[\lambda = 0{,}8 \; \text{in II} \colon \; 10 \cdot 0{,}8 = 7 + 3\mu \; \Leftrightarrow \; 1 = 3\mu \; \Leftrightarrow \; \mu = \frac{1}{3}\]

\[\begin{align*} \lambda = 0{,}8 \; \text{in III} \colon \; 2 + 0{,}8 \cdot (h - 2) &= 3 \\[0.8em] 2 + 0{,}8h - 1{,}6 &= 3 \\[0.8em] 0{,}8h + 0{,}4 &= 3 &&| - 0{,}4 \\[0.8em] 0{,}8h &= 2{,}6 &&| : 0{,}8 \\[0.8em] h &= 3{,}25 \end{align*}\]

 

Abstand des Eckpunkts \((5|10|h)\) von Plattform 2 berechnen:

 

\[d = h - 3 = 3{,}25 - 3 = 0{,}25\]

 

Der betrachtete Eckpunkt hat von der Plattform 2 den Abstand 0,25 m.

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