Teilaufgabe 1b

Die Geschwindigkeitsmessungen werden über einen längeren Zeitraum fortgesetzt. Dabei zeigt sich, dass die Verteilung der auf km/h genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 100\) und \(p = 0{,}8\) beschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht \(B(100; 0{,}8; 77)\) näherungsweise dem Anteil der mit einer Geschwindigkeit von 77 km/h erfassten Pkw.

Bestätigen Sie exemplarisch für eine der beiden mittleren Geschwindigkeitsklassen der oben dargestellten Stichprobe, dass die ermittelte Anzahl der Fahrten mit der Beschreibung durch die Binomialverteilung im Einklang steht.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Es sei \(X\) die nach \(B(100;0{,}8)\) binomialverteilte Zufallsgröße, welche die auf km/h genau gemessene Geschwindigkeit beschreibt.

Für \(75 < v \leq 80\) ergibt sich mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST):

\[\begin{align*}P_{0{,}8}^{100}(75 < X \leq 80) &= P_{0{,}8}^{100}(X \leq 80) - P_{0{,}8}^{100}(X \leq 75) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}53984 - 0{,}13135 \\[0.8em] &= 0{,}40849 \end{align*}\]

 

Gemäß der Verteilung der Angabe gilt:

 

\[P_{0{,}8}^{100}(75 < v \leq 80) = \frac{80}{200} = 0{,}4\]

 

oder

 

Für \(80 < v \leq 85\) ergibt sich mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST):

\[\begin{align*}P_{0{,}8}^{100}(80 < X \leq 85) &= P_{0{,}8}^{100}(X \leq 85) - P_{0{,}8}^{100}(X \leq 80) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}91956 - 0{,}53984 \\[0.8em] &= 0{,}37972 \end{align*}\]

 

Gemäß der Verteilung der Angabe gilt:

 

\[P_{0{,}8}^{100}(80 < v \leq 85) = \frac{76}{200} = 0{,}38\]

 

In beiden Fällen bestätigt der Vergleich, dass die Verteilung der auf km/h genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 100\) und \(p = 0{,}8\) beschrieben werden kann.

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