Teilaufgabe 2b

Liegt in einer Stichprobe von 50 Geschwindigkeitsmessungen die Zahl der Tempoverstöße um mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, geht die Polizei davon aus, dass wirksam vor der Geschwindigkeitskontrolle gewarnt wurde, und bricht die Kontrolle ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf 10 % gesunken ist.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Tempoverstöße beschreibt. Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(50;0{,}19)\) binomialverteilt.

Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\) berechnen:

\[E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}19 = 9{,}5\]

\[\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{50 \cdot 0{,}19 \cdot 0{,}81} \approx 2{,}77\]

 

\[E(X) - \sigma(X) = 9{,}5 - 2{,}77 = 6{,}73\]

 

Die Geschwindigkeitskontrolle wird bei 7 und mehr Tempoverstößen fortgeführt.

 

„... obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf 10 % gesunken ist."

 

Entsprechend dieser Aussage, lässt sich die Wahrscheinlichkeit, die Geschwindigkeitskontrolle irrtümlich fortzuführen, mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) wie folgt berechnen:

\[\begin{align*}P_{0{,}1}^{50}(X \geq 7) &= 1 - P_{0{,}1}^{50}(X \leq 6) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}77023 \\[0.8em] &= 0{,}22977 \\[0.8em] &\approx 23{,}0\,\% \end{align*}\]

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