Teilaufgabe 2c

Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei werden der grüne und der rote Sektor verkleinert, wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.

Abbildung Aufgabe 2c Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2018

Bestimmen Sie die Größe des zum grünen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Es sei \(p\) die Wahrscheinlichkeit, mit der der grüne Sektor erscheint.

 

\[P(G) = p\]

„... wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist."

\[P(R) = 2p\]

\[P(B) = 1 - P(G) - P(R) = 1 - p - 2p = 1 - 3p\]

 

Entsprechend des abgebildeten Teils eines Baumdiagramms gilt nach der ersten Pfadregel:

\[\begin{align*}P(R) \cdot P(B) &= P(R \cap B) \\[0.8em] 2p \cdot (1 - 3p) &= 0{,}14 \\[0.8em] 2p - 6p^{2} &= 0{,}14 &&| -0{,}14 \\[0.8em] -6p^{2} +2p -0{,}14 &= 0 \end{align*}\]

 

Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt:

\[\begin{align*}p_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (-6) \cdot (-0{,}14)}}{2 \cdot (-6)} \\[0.8em] &= \frac{-2 \pm 0{,}8}{-12} \end{align*}\]

\[p_{1} = 0{,}1 \; \vee \; \left( p_{2} = \frac{7}{30} > \frac{1}{6} \right)\]

 

Da der grüne Sektor verkleinert wird, gilt \(p < \dfrac{1}{6}\) (ursprünglicher Wert). Somit ist \(p = 0{,}1\) die im Sachzusammenhang richtige Lösung.

 

Mittelpunktswinkel des grünen Sektors berechnen:

 

\(0{,}1 \cdot 360^{\circ} = 36^{\circ}\)

 

Der grüne Sektor hat einen Mittelpunktswinkels von 36°.

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