Mathematik Abitur Bayern 2019 A Analysis 1 - Aufgaben mit Lösungen
Teilaufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^{2x}}{x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.
(5 BE)
Teilaufgabe 2a
Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\), die die Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = 1\) hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f, der symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist. Weiterhin ist die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = -3\) gegeben.
Abb. 1
Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen \(g\) den Graphen von \(f\) schneidet, die \(x\)-Koordinate \(\frac{1}{2}\) hat.
(1 BE)
Teilaufgabe 2b
Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.
(4 BE)
Teilaufgabe 3a
Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).
Abb. 2
Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Abb. 3
(3 BE)
Teilaufgabe 3b
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe.
(2 BE)
Teilaufgabe 4a
Betrachtet wird eine Schar von Funktionen \(h_{k}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\), die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen \(D_{k}\) unterscheiden.
Es gilt \(h_{k} \colon x \mapsto \cos{x}\) mit \(D_{k} = [0;k]\).
Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion \(h_{7}\). Geben Sie den größtmöglichen Wert von \(k\) an, sodass die zugehörige Funktion \(h_{k}\) umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von \(k\) den Graphen der Umkehrfunktion von \(h_{k}\) in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.
(3 BE)
Teilaufgabe 4b
Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten und umkehrbaren Funktion \(j\) an, die folgende Bedingungen erfüllt: Der Graph von \(j\) und der Graph der Umkehrfunktion von \(j\) haben keinen gemeinsamen Punkt.
(2 BE)
