Teilaufgabe 2b

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

\(g \colon y = -3\) bzw. \(g(x) = -3\)

 

Inhalt A der Fläche. die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen.

Flächeninhalt \(A\) der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

 

Veranschaulichung: Alternative Berechnung des Inhalts der Fläche, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen,.

Es sei \(A_{1}\) der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen \(0{,}5\) und \(3\) Längeneinheiten und \(A_{2}\) der Inhalt der Fläche, welche \(G_{f}\) und die \(x\)-Achse im Intervall \([0{,}5;1]\) einschließen. Da \(G_{f}\) im Intervall \([0{,}5;1]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, wird für die Berechnung von \(A_{2}\) der Betrag des Integrals \(\displaystyle \int_{0{,}5}^{1} f(x)dx\) gewählt.

Aufgrund der Symmetrie von \(G_{f}\) bezüglich der \(y\)-Achse (vgl. Angabe Aufgabe 2) gilt:

\[\begin{align*} \textcolor{#0087c1}{A} &= 2 \cdot (\textcolor{#cc071e}{A_{1}} + A_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{0{,}5 \cdot 3} + \left| \int_{0{,}5}^{1} f(x)]dx \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 1{,}5 + \left| \int_{0{,}5}^{1} \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx \right| \right) \end{align*}\]

 

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0{,}5}^{1}\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx\) wird eine Stammfunktion von \(f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen von \(f(x)\) ist gegeben durch das unbestimmte integral \(\displaystyle \int f(x) dx\). 

\[\begin{align*} \int f(x) dx &= \int \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx \\[0.8em] &= \int \left( 1 - x^{-2} \right)dx \\[0.8em] &= x - \frac{1}{-2 + 1} \cdot x^{-2 + 1} + C \\[0.8em] &= x + x^{-1} + C \\[0.8em] &= x + \frac{1}{x} + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist \(F(x) = x + \dfrac{1}{x}\) eine Stammfunktion von \(f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\).

Damit ergibt sich der Flächeninhalt \(A\) wie folgt:

 

\[\begin{align*} \textcolor{#0087c1}{A} &= 2 \cdot \left( 1{,}5 +\left| \int_{0{,}5}^{1} \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 1{,}5 + \left| \left[ x + \frac{1}{x} \right]_{0{,}5}^{1} \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 1{,}5 + \left| \left( 1  +\frac{1}{1} - \left( 0{,}5 + \frac{1}{0{,}5} \right) \right) \right| \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot (1{,}5 + \vert (2 - 2{,}5) \vert ) \\[0.8em] &= 2 \cdot 2 \\[0.8em] &= 4 \end{align*}\]

 

Alternative:

 

Veranschaulichung: Berechnung des Inhalts der Fläche, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen,.

Es sei \(A_{1}\) der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen \(1\) und \(3\) Längeneinheiten und \(A_{2}\) der Inhalt der Fläche zwischen \(G_{f}\) und \(g\) im Intervall \([0{,}5;1]\) (vgl. Teilaufgabe 2a).

Aufgrund der Symmetrie von \(G_{f}\) bezüglich der \(y\)-Achse (vgl. Angabe Aufgabe 2) gilt:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{A} &= 2 \cdot (\textcolor{#cc071e}{A_{1}} - A_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{1 \cdot 3} - \int_{0{,}5}^{1} [f(x) - g(x)] dx \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left(3 - \int_{0{,}5}^{1} \left( 1 - \frac{1}{x^{2}} - (-3) \right) dx \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 3 - \int_{0{,}5}^{1} \left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right) dx \right) \end{align*}\]

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0{,}5}^{1}\left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto 4 - \dfrac{1}{x^{2}}\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(x \mapsto 4 - \dfrac{1}{x^{2}}\) ist gegeben durch das unbestimmte integral \(\displaystyle \int \left( 4 - \dfrac{1}{x^{2}} \right)dx\). 

\[\begin{align*} \int \left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right)dx &= \int \left(4 - x^{-2}\right)dx \\[0.8em] &= 4x - \frac{1}{-2 + 1} \cdot x^{-2 + 1} + C \\[0.8em] &= 4x + x^{-1} + C \\[0.8em] &= 4x + \frac{1}{x} + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist \(x \mapsto 4x + \dfrac{1}{x}\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto 4 - \dfrac{1}{x^{2}}\).

Damit ergibt sich der Flächeninhalt \(A\) wie folgt:

 

\[\begin{align*}A &=  2 \cdot \left( 3 - \int_{0{,}5}^{1} \left( 4 - \frac{1}{x^{2}} \right) dx \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( 3 - \left[ 4x + \frac{1}{x} \right]_{0{,}5}^{1} \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left[ 3 -  \left( 4 \cdot 1 + \frac{1}{1} - \left( 4 \cdot 0{,}5 + \frac{1}{0{,}5} \right) \right) \right] \\[0.8em] &= 2 \cdot [3 - (5 - 4)] \\[0.8em] &= 4 \end{align*}\]

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