Teilaufgabe 2

Die Zufallsgröße \(X\) kann ausschließlich die Werte \(1\), \(4\), \(9\) und \(16\) annehmen. Bekannt sind \(P(X = 9) = 0{,}2\) und \(P(X = 16) = 0{,}1\) sowie der Erwartungswert \(E(X) = 5\). Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 1)\) und \(P(X = 4)\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

\[X = \{1; 4; 9; 16\}\]

\[P(X= 9) = 0{,}2; \; P(X = 16) = 0{,}1; \; E(X) = 5\]

 

Variablen für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 1)\) und \(P(X = 4)\) vergeben:

 

Es sei \(P(X = 1) = a\) und \(P(X = 4) = b\).

 

Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

\(X = x_{i}\) \(1\) \(4\) \(9\) \(16\)
\(P(X = x_{i})\) \(a\) \(b\) \(0{,}2\) \(0{,}1\)

Es lassen sich zwei Bedingungen formulieren:

1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte der Zufallsgröße \(X\) ist gleich Eins.

 

\[\begin{align*}a + b + 0{,}2 + 0{,}1 &= 1 \\[0.8em] a + b + 0{,}3 &= 1 &&| -0{,}3 \\[0.8em] a + b &= 0{,}7 && \text{(I)} \end{align*}\]

 

2. \(E(X) = 5\) (vgl. Angabe)

\[\begin{align*}E(X) = 1 \cdot a + 4 \cdot b + 9 \cdot 0{,}2 + 16 \cdot 0{,}1 &= 5 \\[0.8em] a + 4b + 1{,}8 + 1{,}6 &= 5 \\[0.8em] a + 4b + 3{,}4 &= 5 &&| -3{,}4 \\[0.8em] a + 4b &= 1{,}6 && \text{(II)} \end{align*}\]

 

Lineares Gleichungssystem lösen:

 

\[\begin{align*} \text{I} & & & a + \enspace b = 0{,}7 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & a + 4b = 1{,}6 \end{align*}\]

 

Es bitte sich das Additiomsverfahren an, beispielsweise mit \(\text{II}\;+\;(-1) \cdot \;\text{I}\) bzw. \(\text{II}\;-\;\text{I}\).

 

\[\begin{align*} \text{II} \;-\; \text{I} \colon \; 3b &= 0{,}9 &&| : 3 \\[0.8em] b &= 0{,}3 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}b = 0{,}3 \; \text{in I} \colon \; a + 0{,}3 &= 0{,}7 &&| -0{,}3 \\[0.8em] a &= 0{,}4  \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad P(X = 1) = 0{,}4; \; P(X = 4) = 0{,}3\]

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