Teilaufgabe 3

Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt. 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

\[B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k); \enspace k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\]

Die Wahrscheinlichkeit \(B(n;p;k)\) dafür, dass bei einem Bernoulli-Experiment ein betrachtetes Ereignis mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) von \(n\) Wiederholungen genau \(k\)-mal eintritt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit \(B(n; 1-p; n - k)\) dafür, dass dessen Gegenereignis mit der Wahrscheinlichkeit \(1 - p\) (kein Treffer) von \(n\) Wiederholungen genau \((n - k)\)-mal eintritt.

oder

Bei einem Bernoulli-Experiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen gleich \(1 - p\). Bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, genau \(k\) Treffer zu erzielen, gleich der Wahrscheinlichkeit dafür, genau \((n - k)\)-mal keinen Treffer zu erzielen. 

 

Ergänzung (nicht verlangt)

Die Gültigkeit der Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) lässt sich rechnerisch nachweisen.

\[\begin{align*} B(n;p;k) &= B(n; 1 - p; n - k) \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{n - k} \cdot (1 - p)^{n - k} \cdot (1 - (1 - p))^{n - (n - k)} \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{n - k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - (n - k))!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0.8em] \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} &= \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \qquad \text{(w)} \end{align*}\] 

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