Teilaufgabe 2

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Parameterwert \(n = 5\). Dem Diagramm in Abbildung 1 kann man die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) mit \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\) entnehmen.

Ergänzen Sie den zu \(k = 5\) gehörenden Wahrscheinlichkeitswert im Diagramm. Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\).

Abb. 1Abbildung 1 Aufgabe 2 Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 A

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Ergänzung des zu \(k = 5\) gehörenden Wahrscheinlichkeitswerts

Abbildung 1 zeigt ein Balkendiagramm der aufsummierten Wahrscheinlichkeiten \(P(X \leq k)\) der nach \(B(5;p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), das heißt ein Balkendiagramm der kumulativen Verteilungsfunktion von \(X\).

Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte der Zufallsgröße \(X\) gleich Eins ist, gilt für \(k = n = 5\):

\[P^{5}_{p}(X \leq 5) = \sum \limits_{I\,=\,0}^{k\,=\,5}B(5; p; i) = \textcolor{#89ba17}{1}\]

Diagramm in Abbildung 1 mit Ergänzung des Wahrscheinlichkeitswerts für k = 5

Nährungsweise Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\)

 

\[\begin{align*}P(X = 2) &= P(X \leq 2) - P(X \leq 1) \\[0.8em] &\approx \underbrace{0{,}41 - 0{,}14}_{\text{aus Diagramm abgelesen}} \\[0.8em] &= 0{,}27 \end{align*}\]

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