Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Parameterwert \(n = 5\). Dem Diagramm in Abbildung 1 kann man die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) mit \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\) entnehmen.
Ergänzen Sie den zu \(k = 5\) gehörenden Wahrscheinlichkeitswert im Diagramm. Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\).
(2 BE)
Abbildung 1 zeigt ein Balkendiagramm der aufsummierten Wahrscheinlichkeiten \(P(X \leq k)\) der nach \(B(5;p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), das heißt ein Balkendiagramm der kumulativen Verteilungsfunktion von \(X\).
Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte der Zufallsgröße \(X\) gleich Eins ist, gilt für \(k = n = 5\):
\[P^{5}_{p}(X \leq 5) = \sum \limits_{I\,=\,0}^{k\,=\,5}B(5; p; i) = \textcolor{#89ba17}{1}\]
\[\begin{align*}P(X = 2) &= P(X \leq 2) - P(X \leq 1) \\[0.8em] &\approx \underbrace{0{,}41 - 0{,}14}_{\text{aus Diagramm abgelesen}} \\[0.8em] &= 0{,}27 \end{align*}\]
