Teilaufgabe 3

Das Baumdiagramm in Abbildung 2 gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.

Abbildung 2 Aufgabe 3 Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 2

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Nach der zweiten Pfadregel gilt:

\[P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\]

 

Nach der Verzweigungsregel (Knotenregel) gilt:

 

\[\textcolor{#0087c1}{P(A)} = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{3}}\]

 

Wegen der stochastischen Unabhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(B\) treten an den Pfaden der zweiten Stufe des Baumdiagramms in Abbildung 2 die gleichen Wahrscheinlichkeiten auf.

Baumdiagramm in Abbildung 2 ergänzt um die Wahrscheinlichkeit P(A) sowie die unbekannten Wahrscheinlichkeiten p und 1 - p der zweiten Stufen

 

Mithilfe der ersten Pfadregel folgt:

\[\begin{align*}\frac{2}{3} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} &= \frac{2}{15} &&| \cdot \frac{3}{2} \\[0.8em] \textcolor{#cc071e}{p} &= \frac{\cancel{2}}{15} \cdot \frac{3}{\cancel{2}} \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{5}}\end{align*}\]

 

Somit ergibt sich:

 

\[\begin{align*}P(B) &= P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) \\[0.8em] &= \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{3}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{5}} + \frac{2}{15} \\[0.8em] &= \frac{1}{15} + \frac{2}{15} \\[0.8em] &= \frac{3}{15} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} \end{align*}\]

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