Teilaufgabe 1a

Geben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2 - \ln{(x - 1)}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\) ist, und geben Sie das Verhalten von \(f\) an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}\]

 

Nachweis des maximalen Definitionsbereichs \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\)

Die Natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Es muss also \(x - 1 > 0\) gelten.

 

\[x - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 1\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \; ]1;+\infty[\]

 

Verhalten von \(f\) an den Grenzen des Definitionsbereichs

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = ]1;+\infty[\]

 

Es gilt \(\lim \limits_{x\,\to\,0} \ln{x} = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \ln{x} = +\infty\). Somit folgt:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,1} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,1} [2 - \underbrace{\ln{(\overbrace{x - 1}^{\large{\to\,0}})}}_{\large{\to\,-\infty}}] = +\infty\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\, +\infty} [2 - \underbrace{\ln{(\overbrace{x - 1}^{\large{\to\,+\infty}})}}_{\large{\to\,+\infty}}] = -\infty\]

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