Teilaufgabe 1b

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\]

 

Für die Berechnung der Nullstelle von \(f\), wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt.

Die entstehende Logarithmusgleichung lässt sich nach elementarer Umformung durch Potenzieren zur Basis \(e\) lösen.

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] 2 - \ln{(x - 1)} &= 0 &&| + \ln{(x - 1)} \\[0.8em] 2 &= \ln{(x - 1)} &&| \; e^{(\dots)} \; \text{(zur Basis}\; e \; \text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{2} &= e^{\ln{(x - 1)}} &&| \; e^{ln{x}} = x; \; \left(\text{allg.:}\; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] e^{2} &= x - 1 &&| + 1 \\[0.8em] e^{2} + 1 &= x \end{align*}\]

 

Die Funktion \(f\) besitzt die Nullstelle \(x = e^{2} + 1\).

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