Teilaufgabe 1d

Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\]

\[F(x) = 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}; \; D_{F} = D_{f} = \; ]1;+\infty[\]

 

Nachweis, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist

Es ist zu zeigen, dass \(F'(x) = f(x)\) gilt.

Die Ableitung der Funktion \(F\) erfolgt mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Summen- und der Faktorregel sowie der Ableitung der Natürlichen Logarithmusfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion.

\[F(x) = 3x - \textcolor{#0087c1}{(x - 1)} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x - 1)}}\]

 

\[\begin{align*} F'(x) &= 3 - \bigg[ \underbrace{\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{\ln{(x - 1)}} + \textcolor{#0087c1}{(x - 1)} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{x - 1}} \cdot 1}^{\large{\text{Kettenregel}}}}_{\large{\text{Produktregel}}} \bigg] \\[0.8em] &= 3 - \ln{(x - 1)} - 1 \\[0.8em] &= 2 - \ln{(x - 1)} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

 

Also ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

 

Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat

Die Menge aller Stammfunktionen von \(f\) ist gegeben durch:

 

\[F(x) + C = 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)} + C\]

 

Der Graph der gesuchten Stammfunktion soll durch den Punkt \((2|0)\) verlaufen. Es muss also \(F(\textcolor{#89ba17}{2}) + C = 0\) gelten.

 

\[\begin{align*} F(\textcolor{#89ba17}{2}) + C &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot \textcolor{#89ba17}{2} - (\textcolor{#89ba17}{2} - 1) \cdot \ln{(\textcolor{#89ba17}{2} - 1)} + C &= 0 \\[0.8em] 6 - \ln{1} + C &= 0 &&| \; \ln{1} = 0; \; \left( \text{allg.:} \; \log_{a}{1} = 0 \right) \\[0.8em] 6 + C &= 0 &&| - 6 \\[0.8em] C &= -6 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F(x) - 6\]

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