Teilaufgabe 2b

Berechnen Sie die Stelle \(x_{m}\) im Intervall \([2;8]\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\]

 

Die mittlere Änderungsrate \(m\) im Intervall \([2;8]\) ist gegeben durch:

\[m = \frac{f(8) - f(2)}{8 - 2}\]

 

Die lokale Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(x_{m}\) ist gegeben durch:

\[f'(x_{m})\]

 

Für die Gleichheit der mittleren und der lokalen Änderungsrate im Intervall \([2;8]\) muss also gelten:

 

\[m = f'(x_{m}); \; x_{m} \in [2;8]\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Hierfür wird die Ableitung einer Konstante, die Ableitung der Natürlichen Logarithmusfunktion sowie die Kettenregel benötigt.

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}\]

\[f'(x) = 0 - \frac{1}{x - 1} \cdot 1 = \frac{1}{1 - x}\]

 

Stelle \(x_{m}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} m &= f'(x_{m}) &&| \; x_{m} \in [2;8] \\[0.8em] \frac{f(8) - f(2)}{8 - 2} &= \frac{1}{1 - x_{m}} \\[0.8em] \frac{2 - \ln{(8 - 1)} - \left[ 2 - \ln{(2 - 1)} \right]}{6} &= \frac{1}{1 - x_{m}} \\[0.8em] \frac{2 - \ln{7} - 2 + \ln{1}}{6} &= \frac{1}{1 - x_{m}} &&| \; \ln{1} = 0; \; \left(\text{allg.:}\; \log_{a}{1} = 0 \right) \\[0.8em] \frac{-\ln{7}}{6} &= \frac{1}{1 - x_{m}} &&| \; \text{„überkreuz" multiplizieren} \\[0.8em] (-\ln{7}) \cdot (1 - x_{m}) &= 6 &&| : (-\ln{7}) \\[0.8em] 1 - x_{m} &= -\frac{6}{\ln{7}} &&| + x_{m} + \frac{6}{\ln{7}} \\[0.8em] 1 + \frac{6}{\ln{7}} &= x_{m} \end{align*}\]

 

An der Stelle \(x_{m} = 1 + \dfrac{6}{\ln{7}} \approx 4{,}1\) ist die lokale Änderungsrate von \(f\) gleich der mittleren Änderungsrate im Intervall \([2;8]\).

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