Teilaufgabe 3b

Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).

(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt \(W_{k}\) des Graphen \(G_{k}\) lautet:

\[g''_{k}(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(g'_{k}\) und zweite Ableitung \(g''_{k}\) bilden:

Hierfür wird die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Summen- und die Faktorregel benötigt.

 

\[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\]

\[\begin{align*}g'_{k}(x) &= k \cdot 3x^{2} + 3 \cdot (k + 1) \cdot 2x + 9 \\[0.8em] &= 3kx^{2} + 6 \cdot (k + 1)x + 9 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}g''_{k}(x) &= 3k \cdot 2x + 6 \cdot (k + 1) \\[0.8em] &= 6kx + 6 \cdot (k + 1) \\[0.8em] &= 6 \cdot (kx + k + 1) \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(g''_{k}(x)\) in Abhängigkeit von \(k\) berechnen:

 

\[\begin{align*}g''_{k} = 0 \quad \Longrightarrow \quad kx + k + 1 &= 0 &&| - 1 - k \\[0.8em] kx &= - 1 - k &&| : k \\[0.8em] x &= - \frac{1}{k} - 1 \end{align*}\]

 

Da zudem \(g'''_{k}(x) = 6k \neq 0\) gilt, ist \(x = -\dfrac{1}{k} - 1\) für jedes \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) eine Wendestelle. 

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3a Teilaufgabe 3c »