Teilaufgabe 3c

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

\[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\]

\(x\)-Koordinate von \(W_{k}\): \(x = -\dfrac{1}{k} - 1\) (vgl. Teilaufgabe 3b)

 

Wert von \(k\) sodass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt

Wenn der Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt, gilt für dessen \(x\)-Koordinate: \(x_{W_{k}} = 0\).

 

\[\begin{align*} 0 &= -\frac{1}{k} - 1 &&| +1 \\[0.8em] 1 &= -\frac{1}{k} &&| \cdot k \\[0.8em] k &= -1 \end{align*}\]

 

Nachweis, dass \(W_{k}\) für \(k = -1\) im Koordinatenursprung liegt

 

\[k = -1\]

\[\begin{align*}g_{-1}(x) &= (-1) \cdot x^{3} + 3 \cdot (-1 + 1) + 9x \\[0.8em] &= -x^{3} + 9x \end{align*}\]

 

Mit \(x_{W_{-1}} = 0\) folgt:

 

\[g_{-1}(0) = -0^{3} + 9 \cdot 0 = 0\]

 

Somit liegt der Wendepunkt \(W_{k}\) für \(k = -1\) im Koordinatenursprung \((W_{-1}(0|0))\).

 

Nachweis, dass die Wendetangente für \(k= -1\) die Steigung \(9\) hat

Mit \(x_{W_{-1}} = 0\) gilt für die Steigung \(m_{W_{-1}}\) der Wendetangente:

\[m_{W_{-1}} = g'_{-1}(0)\]

 

Erste Ableitungsfunktion \(g'_{-1}(x)\) für \(k = -1\) bestimmen:

 

\(g'_{k}(x) = 3kx^{2} + 6 \cdot (k + 1)x + 9\) (vgl. Teilaufgabe 3b)

 

\[\begin{align*}g'_{-1}(x) &= 3 \cdot (-1) \cdot x^{2} + 6 \cdot (-1 + 1)x + 9 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 9 \end{align*}\]

 

Somit ergibt sich:

 

\[m_{W_{-1}} = g'_{-1}(0) = (-3) \cdot 0^{2} + 9 = 9\]

 

Also hat die Wendetangente des Wendepunkts \(W_{-1}(0|0)\) die Steigung \(9\).

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