Teilaufgabe a

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten.

Abbildung Aufgabe a Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 B

Begründen Sie, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

\[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Begründung, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist

Ein Quotient ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

 

\[f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 0\]

 

Also ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\).

 

Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\)

Senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = -1\)

 

Anmerkung:

Der Definitionsbereich \(D_{f}\) schließt die Nennernullstelle \(x = -1\) aus. Da diese nicht zugleich eine Zählernullstelle ist, ist \(x = -1\) eine Polstelle, an der \(G_{f}\) eine senkrechte Asymptote hat.

 

Begründung, dass \(G_{f}\) die waagrechte Asymptote \(y = 0\) besitzt

 

1.Möglichkeit: Zähler- und Nennergrad betrachten

\[f(x) = \frac{\overbrace{4x}^{\large{\text{Grad 1}}}}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{\text{Grad 2}}}}\]

 

Der Grad des Zählers (Zählerpolynoms) ist kleiner als der Grad des Nenners (Nennerpolynoms). Deshalb ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) (\(x\)-Achse) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\).

 

2. Möglichkeit: Grenzwertbtrachtung für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\)

Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung wird die höchste Potenz des Nenners im Zähler und Nenner ausgeklammert und gekürzt.

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{4x}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{(a\,+\,b)^{2}}}} &&| \; \text{1. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{4x}{\underbrace{x^{2} + 2x + 1}_{\large{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}}}} &&| \; x^{2} \; \text{ausklammern und kürzen} \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{\frac{4}{x}}^{\to\,0}}{1 + \underbrace{\frac{2}{x}}_{\to\,0} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

analog:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\overbrace{\frac{4}{x}}^{\to\,0}}{1 + \underbrace{\frac{2}{x}}_{\to\,0} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0}} = 0\]

 

Also besitzt \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote. 

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