Teilaufgabe b

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

\[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\)

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\) lautet:

\[f'(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) kann mithilfe der Quotientenregel, der Kettenregel sowie der Ableitung einer Potenzfunktion gebildet werden.

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{4x}}{\textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{2}}}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{4} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{2}} - \textcolor{#0087c1}{4x} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{2 \cdot (x + 1) \cdot 1}}^{\large{\text{Kettenregel}}}}{\textcolor{#cc071e}{\left[ (x + 1)^{2} \right]^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (x + 1)^{2} - 8x \cdot (x + 1)}{(x + 1)^{4}} &&| \; (x + 1) \; \text{ausklammern und kürzen} \; (x \neq -1) \\[0.8em] &= \frac{\cancel{(x + 1)} \cdot [4 \cdot (x + 1) - 8x]}{(x + 1)^{\cancelto{3}{4}}} \\[0.8em] &= \frac{4x + 4 - 8x}{(x + 1)^{3}} \\[0.8em] &= \frac{4 - 4x}{(x + 1)^{3}} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (1 - x)}{(x + 1)^{3}} \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(f'\) berechnen:

Ein Quotient ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

 

\[f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4 \cdot (1 - x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1\]

 

Abbildung Aufgabe a Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 B

Die Abbildung bestätigt die Extremstelle \(x = 1\) von \(G_{f}\).

 

\(y\)-Koordinate des Extrempunkts berechnen:

 

\[f(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1 + 1)^{2}} = 1\]

 

Somit besitzt \(G_{f}\) den Extrempunkt \((1|1)\)

 

Art des Extrempunkts von \(G_{f}\)

Die Abbildung (vgl. oben) zeigt den Hochpunkt \((1|1)\).

 

1. Möglichkeit: Monotonietabelle

Es wird der Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 1\) untersucht und anhand des Monotoniekriteriums das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) betrachtet.

\[f'(x) = \frac{4 \cdot (1 - x)}{(x + 1)^{2}}\]

\(x\) \(-1 < x < 1\) \(1\) \(x > 1\)
\(f'(x)\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{+}}\) \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{-}}\)
\(G_{f}\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{\nearrow}}\) \(HoP(1|1)\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\searrow}}\)

Testwerte z.B.: \(x = 0\) und \(x = 2\)

 

\[f'(0) = \frac{4 \cdot (1 - 0)}{(0 + 1)^{2}} = 4 \textcolor{#0087c1}{> 0}\]

\[f'(2) = \frac{4 \cdot (1 - 2)}{(2 + 1)^{2}} = -\frac{4}{9} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

 

Wie die Abbildung (vgl. oben) bestätigt, besitzt \(G_{f}\) den Hochpunkt \(HoP(1|1)\).

 

2. Möglichkeit: Art des Extrempunkts mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Diese Möglichkeit sei der Vollständigkeit halber aufgeführt. Sie ist zeitaufwendiger und daher nicht zu empfehlen.

Das Vorzeichen von \(f''(1)\) bestimmt das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\) und lässt damit auf die Art des Extrempunkts schließen.

\[f'(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{4 - 4x}}{\textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{3}}}\]

\[\begin{align*} f''(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{(0 - 4)} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{3}} - \textcolor{#0087c1}{(4 - 4x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{3 \cdot (x + 1)^{2} \cdot 1}}{\textcolor{#cc071e}{\left[ (x + 1)^{3} \right]^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{(-4) \cdot (x + 1)^{3} - (12 - 12x) \cdot (x + 1)^{2}}{(x + 1)^{6}} \\[0.8em] &= \frac{\cancel{(x + 1)^{2}} \cdot \left[ (-4) \cdot (x + 1) - (12 - 12x) \right]}{(x + 1)^{\cancelto{4}{6}}} &&| \; (x \neq -1) \\[0.8em] &= \frac{-4x - 4 - 12 - 12x}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{8x - 16}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{8 \cdot (x - 2)}{(x + 1)^{4}} \end{align*}\]

 

\[\textcolor{#89ba17}{f''(1)} = \frac{8 \cdot (1 - 2)}{(1 + 1)^{2}} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \textcolor{#89ba17}{< 0} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#89ba17}{HoP(1|1)}\]

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