Teilaufgabe h

Das Medikament zeigt die gewünschte Wirkung erst ab einer bestimmten Wirkstoffkonzentration. Daher soll der Patient nach der ersten Tablette des Medikaments eine zweite identisch wirkende Tablette einnehmen, noch bevor die Konzentration des Wirkstoffs im Blut unter 0,75\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) fällt. Nach der Einnahme der zweiten Tablette erhöht sich die Wirkstoffkonzentration um die durch diese Tablette verursachte Konzentration des Wirkstoffs im Blut.

Ermitteln Sie durch Rechnung den spätesten Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe h

 

\[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; x \in [0;9]\]

 

Die Bedingung \(f(x) = 0{,}75\) legt den spätesten Zeitpunkt \(x\) fest, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll.

 

\[\begin{align*}f(x) &= 0{,}75 \\[0.8em] \frac{4x}{(x + 1)^{2}} &= 0{,}75 &&| \cdot (x + 1)^{2} \\[0.8em] 4x &= 0{,}75 \cdot \underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{(a\,+\,b)^{2}}} &&| \; \text{1. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] 4x &= 0{,}75 \cdot (\underbrace{1 + 2x + x^{2}}_{\large{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}}}) \\[0.8em] 4x &= 0{,}75 + 1{,}5x + 0{,}75x^{2} &&| - 4x \; \text{(quadr. Gleichung formulieren)} \\[0.8em] 0 &= 0{,}75x^{2} -2{,}5x + 0{,}75 \end{align*}\]

 

Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) ergibt sich:

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-(-2{,}5) \pm \sqrt{(-2{,}5)^{2} - 4 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75}}{2 \cdot 0{,}75} \\[0.8em] &= \frac{2{,}5 \pm 2}{1{5}} \end{align*}\]

 

\[x_{1} = \frac{2{,}5 + 2}{1{5}} = 3; \; \left( x_{2} = \frac{2{,}5 - 2}{1{5}} = \frac{1}{3}\right)\]

 

\(x_{2} = \frac{1}{3}\) kommt als Lösung nicht infrage, da die Wirkstoffkonzentration 20 Minuten nach Einnahme der ersten Tablette noch zunimmt.

 

Spätestens drei Stunden nach der Einnahme der ersten Tablette sollte die Einnahme der zweiten Tablette erfolgen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe g Teilaufgabe i »