Teilaufgabe j

Verabreicht man das Medikament nicht in Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist \(x\) die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und \(k(x)\) die Wirkstoffkonzentration in \(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\).

Begründen Sie, dass der Graph von \(k\) streng monoton steigend ist.

(zur Kontrolle: \(k'(x) = \dfrac{6e^{2x}}{\left( e^{2x} + 1 \right)^{2}}\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe j

 

\[k(x) = \frac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5; \; D_{k} = \mathbb R\]

 

Gemäß dem Monotoniekriterium ist der Graph von \(k\) in einem betrachteten Intervall streng monoton steigend, wenn \(k'(x) > 0\) gilt.

Erste Ableitung \(k'\) bilden:

Hierfür wird die Quotientenregel, die Kettenregel und die Faktorregel sowie die Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[k(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{3 \cdot e^{2x}}}{\textcolor{#cc071e}{e^{2x} + 1}} - 1{,}5\]

\[\begin{align*}k'(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{3 \cdot e^{2x} \cdot 2} \cdot \textcolor{#cc071e}{(e^{2x} + 1)} - \textcolor{#0087c1}{3 \cdot e^{2x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(e^{2x} \cdot 2 + 0)}}{\textcolor{#cc071e}{(e^{2x} + 1)^{2}}} - 0 \\[0.8em] &= \frac{6e^{2x} \cdot (e^{2x} + 1) - 6e^{2x} \cdot e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{6e^{2x} \cdot (e^{2x} + 1 - e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{\overbrace{6e^{2x}}^{>\,0}}{\underbrace{(e^{2x} + 1)^{2}}_{>\,0}} \end{align*}\]

 

Sowohl der Zähler als auch der Nenner von \(k'(x)\) ist für alle \(x \in \mathbb R\) stets größer als Null.

Also gilt \(k'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R\) und der Graph von \(k\) ist folglich in \(\mathbb R\) streng monoton steigend.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe i Teilaufgabe k »